Geometria y trigonometria

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*Antiderivada
Objetivo. .-explicara lo que es la antiderivada (ó integral indefinida), sus propiedades, así como estará capacitado para resolver problemas utilizando problemas que involucren algoritmos exclusivos de la integración.


La antiderivada
Es de nuestro conocimiento hasta hoy de que cada operación va acompañada de su operación inversa: para la suma se tiene la sustracción, lamultiplicación tiene la división, raíz-potencia, logaritmos-antilogaritmo (exponencial), etc. A continuación se muestran ejemplos de operaciones inversas mutuas (en los segundos miembros de la ecuación)
Expresiónmatemática | Operación que indica | Expresiónmatemática | Operación inversa |
y= x – 4 | Resta o sustracción | x = y + 4 | Suma o adición |
x = loga y | logaritmo | y = ax óy =antiloga x | Exponencial óAntilogaritmo |
y = x2 | potencia | x= √y | raiz |
y = sen x | Función trigonométrica | x = arc sen y | Trigonométrica inversa |
y = a x | Producto (multiplicación) | x = y/a | cociente(división) |

De igual manera que las anteriores operaciones, “la antiderivada”, representa la función que resulta de realizar una operación inversa a la derivación, es decir,dada una función φ(x) consiste en encontrar una función que f(x) , misma que al ser derivada produce dicha función φ(x).

En el cálculo diferencial sabemos que la derivada de una función y=f(x), se da por:
= f’ (x)
=
d f(x)
dx
dy
dx

De igual manera, utilizando diferenciales, se tiene que:

d f(x) = f ’(x) dx
Entonces,considerando el proceso inverso a la derivación, se tiene que, dada una función φ(x), encontraremos una función f(x), tal que la derivada de ésta nos resulte una derivada igual a la función dada (φ(x)), es decir:
f ’(x) = φ(x)…………………..( I.3)

O bien puesto que en el cálculo Integral es común utilizar diferenciales, podemos escribir:

d f(x) = f ’(x) dx = φx dx…………..(I.3)’

De acuerdo a loanterior podemos enunciar a la antiderivada de la siguiente manera:

“Dada la diferencial de una función, hallar la función “

La función f(x) encontrada en este proceso es denominada antiderivada de la expresión diferencial (φx dx) dada, o bien, más comúnmente, integral de la diferencial; el procedimiento realizado para obtener dicha integral es denominado integración y es consideradacomo la operación inversa al obtener la diferencial.

La operación de integrar una función se representa por medio del signo integral delante de la expresión diferencial dada, así tenemos que:
φx dx

= f (x) ……………………..(I.4)

Expresión que se lee integral de φxdx es igual a f (x). El signo se lee “integral de”. La diferencial dx indica que x es la variable deintegración. Los siguientes ejemplos nos muestran la relación que como operaciones inversas tienen la derivación y la integración.

Ejemplo 1.- Si f(x) = x3 ; entonces al diferenciarlo se tiene: df(x) = 3x2 dx, por tanto:
3x2 dx = x3

Ejemplo 2.- Si f(x) = sen x ; entonces al diferenciarlo se tiene: df(x) = cos x dx, por tanto:
cos x dx = sen x



Ejemplo 3.- Si f(x) = 3x4 ;entonces al diferenciarlo se tiene: df(x) = 12 x3 dx, por tanto:
12x3 dx = 3x4

Por lo antes visto concluimos que: “La derivación y la integración son operaciones inversas entre si”

OBSERVACIONES:
d
dx
…. dx

*Si es el símbolo de operación de la derivada, y representa el símbolo de operación de la integración, entonces ambos son “inversos”entre sí, o bien si empleamos diferenciales, “d y son símbolos inversos uno del otro.
*Cuando d antecede a , ambos signos se anulan mutuamente, sin embargo si antecede a d, en general no sucede esto.

Funciones primitivas –constante de integración-.
Si en todos los puntos del intervalo a,b, se verifica que :

f ’(x) = ∅(x)

la función f(x) se llama primitiva de la función...
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