Geometría Analítica

1. E es una elipse con focos F1 y F2, comp(1,0) F1F2>0 , comp(0,1) F1F2>0 , E es tangente al eje Y en el origen de coordenadas O. Si m < F1OF2 = θ, tal que Tan θ= 34 , OF1OF2= 12 . Si (8,0) es unpunto del eje focal de E . Hallar la ecuación vectorial de E.

SOLUCION:
Por propiedad de elipse: m < ROF1 = m < ROF2 = θ/2
* Tan θ = ¾ Tan θ/2 = 1/3
L1 : y = x/3 ^ L2 : Y = - x/3
Por datosabemos que OF1OF2= 12 , como OR es bisectriz del ∆ OF1F2 ,
Entonces: F1RRF2= 12

R divide a F1F2 en la razón ½
* R = 8,0=F1+ 12F21+ 12
2F1 + F2 = (0, 24)
(6 b1 – 2b) + (3a, a) = 24,0* - 2b + a = 0 a = 2b a = 4
6b + 3ª = 24 12b = 24 b = 2

F1 = (6, -2) C= F1+ F22 = (9,1)
F2 = (12, 4)
μ // F1 F2 F1 F2=(6, 6)
μ= (1,1)2 || F1 F2|| = 2c = 62
c = 32……………………….. (1)
……… (2)
……… (2)
x'= PoP . μ = (x – 9, y – 1). (1,1)2 = x+y-102
y'= PoP . μ = (x – 9, y – 1) . (-1,1)2 = -x+y+82

E : x'2a2+ y'2b2 = 1

De (2): x+y-1022a2+ -x+y+822 b2 = 1
El punto O = (0, 0)pertenece a E
50a2+ 32b2=1 ……………… (3)

Por propiedad de elipse: a2 = b2 + c2
De (1): a2 = b2 + 18
En (3): 50b2 + 32 (b2 + 18) = b2 (b2 + 18)
(b2 – 72) (b2 + 8) = 0
* b2 = 72
* a2 = 90
E : P= (9,1) + x’ (1,1)2 + y’ (-1,1)2 x'290+ y'272 = 1
2. H: =Fo+x'μ+ y'μ x'2a2- y'2b2 . Es una hipérbola cuyo eje focal tiene pendiente positiva, excentricidad e = 5/4, Lt = {A + t (7,19)}, es tangente a H: en T = (131/16, 95/16). Si L’t : 5x’ – 4y’ – 4 10 = 0, hallar la ecuación vectorial de H.

SOLUCION:

En el sistema x’y’: e = 5/4 y m1 LT = 5/4 , por lo tanto el punto detangencia al lado recto de la hipérbola con respecto a F2.

* ……… (1)
……… (1)
Xo’ = c ^ yo’ = b2/a
Como : e = 5/5 = c/a c = 5k , c2 = a2 + b2
a = 4k , b = 3k
El punto T(xo’,yo’) Є LT’ :

* 5xo’ – 4yo’ – 4 10 = 0
5(5k) – 4(9/4k) - 4 10 = 0

* k= 104
En (1): a= 10
b= 3 104

Del gráfico sabemos que: Tan θ = 5/4 ^ LT // (7,19)

* a =...