Geometría Analítica

GEOMETRIA ANALITICA

Cap´
ıtulo 8

La Recta
8.1.

Definici´n
o

Se llama recta al lugar geom´trico de los puntos P (x, y) de un plano, tales que
e
para todo par de puntos P1 y P2 de ella, las pendientes de P P1 , P P2 y P1 P2 son
iguales.
Ecuaci´n
o
La igualdad de pendientes implica
y − y1
y − y2
y2 − y1
=
=
= m, x1 = x2
x − x1
x − x2
x2 − x1

8.2.

(1)

Ecuaci´npunto pendiente
o

De (1) se obtiene:
y − y1 = m(x − x1 ),

(2)

conocida como la ecuaci´n de una recta que pasa por un punto dado P1 (x1 , y1 )
o
y pendiente m conocida.

8.3.

Ecuaci´n que pasa por dos puntos
o

En tanto (1) o bien de aqu´ se obtiene:
ı
y − y1 =

y2 − y1
(x − x1 )
x2 − x1
205

(3)

Secciones 6-7-8-9 206

Luis Zegarra.

que representan a laecuaci´n de una recta que pasa por dos puntos P1 (x1 , y1 ) y
o
P2 (x2 , y2 ) dados.
Note que si x1 = x2 la recta es paralela o coincidente con el eje Y , en este caso
con ninguna de las tres ecuaciones anteriores podemos representar a dicha recta,
esto quedar´ para m´s adelante.
a
a

8.4.

Diversas formas de la ecuaci´n de una recta
o

Si en (3) x1 = y1 = 0 la ecuaci´n se convierte en
o
y= mx

(4)

esta es la forma de las rectas que pasan por el origen exceptuando la ecuaci´n
o
del eje Y .
Ahora, tambi´n de (3), obtenemos
e
y = mx1 + y1 − mx2
pero y1 − mx2 es un par´metro real que vamos a denotar por n, as´
a
ı
y = mx + n

(5)

se llama ecuaci´n principal de una recta, con la cual podemos representar too
dos las rectas en el plano cartesiano a excepci´n de lasparalelas con el eje Y y
o
el eje Y mismo. Esta ecuaci´n nos indica que el coeficiente de la variable x, es
o
igual a la pendiente de la recta, en tanto note que ”n” es el corte que tiene dicha
recta con el eje Y .
Sean a y b los cortes de una recta con los ejes X e Y respect´
ıvamente con a y b
no nulos
la recta pasa por A(a, 0) y B(0, b) entonces por (3)
b
x y
y − 0 = − (x − a) ⇐⇒ + =1
a
a
b
ecuaci´n conocida como la ecuaci´n de segmentos de una recta.
o
o
Forma General de una recta
Se llama forma general de la ecuaci´n de una recta a:
o

(6)

Secciones 6-7-8-9 207

Luis Zegarra.

Ax + By + C = 0

(7)

en que A, B y C son par´metros reales A yB no nulos a la vez.
a
Se llama forma principal de una recta pues con ella podemos representar a todas
lasrectas en el plano cartesiano, as´
ı:
A
C
A
C
x−
;m = − y n = −
B
B
B
B
familia de rectas que cortan en dos puntos, a los ejes coordenados.

I) A, B y C = 0, de (7) se obtiene y = −

A
A
x, ; m = −
B
B
familia de rectas que pasan por el origen.

II) A y B = 0 ∧ C = 0 de (7) =⇒ y = −

III) B y C = 0 ∧ A = 0 de (7) =⇒ By + C = 0 ⇐⇒ y = −

C
B

C
B
familia de rectasparalelas al eje X.
m = 0, n = −

IV) B = 0 ∧ C = A = 0, de (7) =⇒ By = 0 ⇐⇒ y = 0
m=0yn=0
y = 0 es la ecuaci´n del eje X.
o
V) A y C = 0 ∧ B = 0 de (7) =⇒ Ax + C = 0 ⇐⇒ x = −
C
A
familia de rectas paralelas al eje Y .
m indefinida, p = −

VI) A = 0 ∧ B = C = 0 de (7) =⇒ Ax = 0 ⇐⇒ x = 0
m indefinida p = 0
x = 0 es la ecuaci´n del eje Y .
o

C
=p
A

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LuisZegarra.

8.5.

Ecuaci´n Normal
o

La forma normal de la ecuaci´n de una recta es
o
x cosα + y sen α = d

(8)

donde d > 0, num´ricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el
e
origen a la recta y α es el ´ngulo positivo (0◦ < α < 360◦ ) medido a partir de la
a
parte positiva del eje X, a la normal. (ver figura)
Recordemos que si a y b son los cortes que tiene dicha rectacon los ejes X e Y ,
su ecuaci´n esta dada por
o
x y
d
d
+ = 1, a =
∧ b=
a
b
cos α
sen α
de aqu´ se obtiene: x cos α + y sen α = d.
ı
Si la recta esta dada en su forma general por
Ax + By + C = 0
y su forma normal
x cos α + y sen α − d = 0
como ambas representan la misma recta se debe tener:
cos α = kA; sen α = kB

y

− d = kC

de aqu´
ı
1
A
B
C
√
, as´ √
ı
x+...