Geometría Hiperbólica

Una introducci´n a la geometr´ hiperb´lica o ıa o bidimensional
Antonio Lascurain Orive 2 de febrero de 2005

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Prefacio
La geometr´ hiperb´lica ha cobrado enorme importancia en las ultimas ıa o ´ d´cadas por su interrelaci´n con m´ltiples ramas centrales de la matem´tica. e o u a A principio de los a¯os ochenta, Troels Jørgensen y Wiliam Thurston (medan lla Fields) revolucionaron latopolog´ al mostrar que la geometr´ hiperb´lica ıa ıa o es una poderosa herramienta en el estudio de las 3-variedades y los nudos (cf. [22] y [3] pp. 190-272). Dennis Sullivan y Curt Mc Mullen (medalla Fields), por su parte, han encontrado un importante paralelismo entre la geometr´ ıa hiperb´lica y los sistemas din´micos, lo cual se hace patente al observar la o a asombrosa similitud que existeentre el conjunto l´ ımite de un grupo kleiniano y el conjunto de Julia de una funci´n racional (cf. [13] y Figura 3.1). Por o otro lado, en el modelo del hiperboloide, el grupo completo de isometr´ ıas es precisamente el grupo de Lorentz, lo cual refleja la estrecha relaci´n de la o teor´ de la relatividad con la geometr´ hiperb´lica. En otro ´mbito, el grupo ıa ıa o a cl´sico modular y sus subgruposson centrales en la teor´ de los n´meros y a ıa u tambi´n en la geometr´ hiperb´lica. M´s a´n, recientemente se han probado e ıa o a u importantes resultados sobre grupos aritm´ticos kleinianos, que vinculan la e teor´ de n´meros, la topolog´ y la geometr´ hiperb´lica (cf. [12]). Es imporıa u ıa ıa o tante destacar tambi´n que en el contexto de la variable compleja, cualquier e superficie deRiemann es el cociente de la acci´n discontinua de un grupo de o M¨bius en la esfera (cf. [2] pp. 120 y 121 y [19]). Existen adem´s conexiones o a de muchas otras ramas con la geometr´ hiperb´lica; mencionamos dos de ıa o gran importancia en la actualidad: la teor´ de los mapeos cuasiconformes y ıa la teor´ de Teichm¨ller (cf. [11] y [16]). ıa u Este texto est´ dirigido principalmente a los estudiantesde los ultimos a ´ niveles de la licenciatura que han aprobado un primer curso de variable compleja; sin embargo, considero que puede ser tambi´n de utilidad para los e alumnos de posgrado y para los profesores e investigadores que no son especialistas en geometr´ hiperb´lica. La idea original de este trabajo fue ıa o adaptar para la licenciatura algunos temas del libro de maestr´ de Joseph ıaiii

iv Lehner [10]; texto recomendado por Troels Jørgensen, y muy adecuado para llegar de manera r´pida y formal al estudio de las regiones fundamentales. a No obstante, la materia fundamental del presente libro son las notas que elabor´ para los seminarios de geometr´ ´lgebra y an´lisis, de los ultimos e ıa, a a ´ niveles de la licenciatura, donde ense¯´ temas b´sicos de geometr´ hiperb´line aıa o ca, los grupos fuchsianos y las transformaciones de M¨bius. Es mi intenci´n o o tambi´n en este trabajo hacer m´s accesibles algunas de las ideas del impore a tante libro de Alan F. Beardon [2], en particular el estudio del grupo general de M¨bius. Aunque la naturaleza del contenido es en general bidimensional, o en diversas partes se se¯alan generalizaciones a dimensiones mayores, y aln gunasveces tambi´n se prueban. El esp´ e ıritu del libro es el de mostrar que las matem´ticas no son ramas aisladas sino que interact´an fuertemente unas a u con otras. En este texto el lector podr´ observar c´mo se mezclan temas de a o los cursos de ´lgebra moderna I, an´lisis matem´tico I, variable compleja I a a a y topolog´ El texto puede ser cubierto en un curso semestral, omitiendo si ıa. esnecesario la mayor´ de los resultados de la ultima secci´n del segundo ıa ´ o cap´ ıtulo. ´ El enfoque del libro es anal´ ıtico y no axiom´tico. Este inicia con el estua dio de las transformaciones de M¨bius complejas actuando en la esfera para o posteriormente mostrar los grupos completos de isometr´ hiperb´licas en el ıas o modelo del semiplano y en el del disco de Beltrami-Poincar´, as´ como...