La hiperbola

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La hipérbola es un lugar geométrico de los puntos P en el plano, con la propiedad de que la diferencia positiva entre las distancias de P a dos puntos fijos del plano (llamado foco de la hipérbola) es constante.
Supongamos que los focos son f1=(-c,0) y f2=(c,0) y llamemos 2a a la diferencia de las distancias, entonces los puntos (x,y) de la hipérbola se cumple que c > a.

CUALES SON SUSELEMENTOS?
La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.
El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.
Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.
Al igual queen la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se le llama radios vectores del punto.
A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede considerar b = .
Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola.
El cociente e = c / a, que es un número mayor que 1,se llama excentricidad de la hipérbola.
Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.
CÁLCUCLO DE LOS RADIOS VECTORES DE UN PUNTO.
graficas/figcalc.eps
Figura 10: Calculo de los radios vectores de un punto
En un punto P(x, y) de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0) losradios vectores son:
= | e * x - a| y = |e * x + a|
Demostración:
Los radios vectores son: = y =
Por definición de hipérbola, - = 2a - = 2a = 2a + .
Elevando al cuadrado:
(x + c)² + y² = 4q² + 4a + (x - c)² + y²
X²/ + 2cx + c²/ + y²/ = 4a² + x²/ - 2cx + c²/ + y²/ + 4a
Ahora, después de haber eliminado los términos comunes, la ecuación luce así:
2cx = 4a² - 2cx + 4a*
Nuestro siguiente paso es despejar:
4a * = 2cx - 4a² + 2cx = 4cx - 4a²,
Luego =
=
= -
= - a
= ex - a = + 2a
= ex - a + 2a
= ex + a
Nótese que se ha utilizado que la distancia es mayor que , lo cual sólo es cierto en el ejemplo del semiplano de la derecha.
Si se hubiese tomado un punto del semiplano de la izquierda y se hubiese operado, el resultado hubiera sidosimilar, pero cambiando los signos. Es por eso que en el enunciado se tomó valor absoluto en los segundos miembros.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA
La ecuación de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0) es:
- = 1
Vamos a demostrar que esto es cierto:
Se toma la expresión de uno de los radios vectores y se opera en ella: = | x -a| = .
Ahora el siguiente pasoes elevar al cuadrado:
( = (x - c)² + y² x² - 2cx + a²
= x² - 2cx + c² + y² x² + a²
= x² + c² + y² c² * x² + a - a² * x² - a² * c² - a² = 0.
Sacando factor común:
(c² - a²),
(c² - a²) x² + a²(a² - c²) - a² * y² = 0
Pero c² - a² = b², luego
b² * x² - a² * b² - a² * y² = 0.
Dividiendo entre (x18), se obtiene:
- 1 - = 0 - = 1
En el caso en que la hipérbola tuviese eleje vertical, la ecuación sería: - = 1

VERTICES DE UNA HIPERBOLA
Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes.
Considerando la hipérbola de ecuación canónica - = 1, sus ejes son los ejes de coordenadas, cuyas ecuaciones respectivas son y = 0 y x = 0.
Eje real
Su ecuación es y = 0
Sustituyendo en la hipérbola:
= 1 x² = a² x = a.
Los vérticesson (a, 0) y (-a, 0)
Al sustituir queda:
= 1 -y² = b²
Esta ecuación no tiene solución, ya que el primer miembro es siempre negativo y el segundo es positivo.
Así pues, la hipérbola - = 1 tiene únicamente dos vértices, que son los puntos (a, 0) y (-a,=).
Si se trata de la hipérbola - = 1, los vértices son los puntos (0,a) y (0,-a).

ASÍNTOTAS DE UNA HIPERBOLA.
[][] x [][] x...
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