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LONGITUD DE ARCO
La longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, hasido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtenersoluciones cerradas para algunos casos.
MÉTODOS
Al considerar una curva definida por una función {draw:frame} y su respectiva derivada {draw:frame} que son continúas en un intervalo [a, b], la longitud Sdel arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
{draw:frame}
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como {draw:frame} e {draw:frame} ,la longitud del arco desde el punto {draw:frame} hasta el punto {draw:frame} se calcula mediante:
{draw:frame}
Si la función está definida por coordenadas polares donde las coordenadas radialesy el ángulo polar están relacionados mediante {draw:frame} , la longitud del arco comprendido en el intervalo {draw:frame} , toma la forma:
{draw:frame}
En la mayoría de los casos, no hay unasolución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARAFUNCIONES DE UNA VARIABLE
Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función {draw:frame} , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que vadesde un punto a a uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura....