Giroscopo

Escuela Universitaria Politécnica
Departamento de Construcciones Arquitectónicas, Ingeniería del Terreno, Mecánica
de Medios Continuos y Teoría de Estructuras.

10.

Precesión estacionaria en un giróscopo.

La precesión estacionaria es el movimiento giroscópico que aparece cuando el ángulo de nutación ( θ ), la
.

.

velocidad de precesión (ψ ) y la velocidad de rotación propia ( ϕ )se mantiénen constantes.
⎧θ = cte
⎪.
⎪
precesión estacionaria ⎨ψ = cte
⎪.
⎪ϕ = cte
⎩

ω

z=z1

z’ 1

.

.

r

ψk

rθ

ϕ k '1

y’1

y=y1

x=x1=x’1
Para simplificar se considerará el caso particular de giróscopo con simetría de masa respecto del eje de
rrr
rotación propia ( z'1 ) en el que los ejes principales de inercia ( e1 , e2 , e3 ) coinciden con los delsistema de
referencia con movimiento de precesión y nutación ( x'1 , y'1 , z'1 ), siendo ésta la base de estudio.
r
Dado que la velocidad angular del sólido ( ω ) viene dada en coordenadas de Euler ( ψ ,θ ,ϕ ) en tres bases
distintas al mismo tiempo,
.

r

r

.

r

.

r

ω = ψ k + θ i1 + ϕ k '1
y conocidas las matrices ( [A] y [B ] ) de cambio de base,

[ A]

[B ]

xyz ⎯⎯→ x1y1 z1 ⎯⎯→ x'1 y'1 z'1
⎡ cos ψ

[A] = ⎢− senψ
⎢
⎢
⎣

sen ψ
cos ψ

0⎤
0⎥
⎥
1⎥
⎦

⎡1

0

[B] = ⎢0
⎢

cos θ

0⎤
sen θ ⎥
⎥
cos θ ⎥
⎦

⎢0 − sen θ
⎣
rr r
se realizan los procesos necesarios para transformar los unitarios ( k , i1 , k '1 ) a la base con movimiento de
0

0

precesión y nutación ( x'1 y'1 z'1 ),
r [ A]
k ⎯⎯→ x1 y1 z1

⎧ x1 ⎫ ⎡ cos ψ
⎪⎪⎢
⎨ y1 ⎬ =⎢− sen ψ
⎪z ⎪ ⎢ 0
⎩ 1⎭ ⎣

r [ A]
[B ]
k ⎯⎯→ x1 y1 z1 ⎯⎯→ x'1 y'1 z'1

sen ψ
cos ψ
0

0
⎧ x'1 ⎫ ⎡1
⎪⎪⎢
⎨ y'1 ⎬ = ⎢0 cos θ
⎪ z' ⎪ ⎢0 − sen θ
⎩ 1⎭ ⎣

Dinámica del sólido rígido
- 29 -

0 ⎤ ⎧0 ⎫ ⎧0 ⎫
⎪⎪ ⎪⎪
0 ⎥ ⎨0 ⎬ = ⎨0 ⎬
⎥
1⎥ ⎪1⎪ ⎪1⎪
⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
0 ⎤ ⎧0 ⎫ ⎧ 0 ⎫
⎪⎪ ⎪
⎪
sen θ ⎥ ⎨0 ⎬ = ⎨sen θ ⎬
⎥
cos θ ⎥ ⎪1⎪ ⎪cos θ ⎪
⎭
⎦⎩ ⎭ ⎩

Escuela Universitaria PolitécnicaDepartamento de Construcciones Arquitectónicas, Ingeniería del Terreno, Mecánica
de Medios Continuos y Teoría de Estructuras.

0 ⎤ ⎧1⎫ ⎧1⎫
⎪⎪ ⎪⎪
sen θ ⎥ ⎨0 ⎬ = ⎨0 ⎬
⎥
cos θ ⎥ ⎪0 ⎪ ⎪0 ⎪
⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧ x'1 ⎫ ⎡1 0 0 ⎤ ⎧0 ⎫ ⎧0 ⎫
r
⎪⎪⎢
[I ]
⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
k '1 ⎯⎯→ x'1 y'1 z'1
⎨ y'1 ⎬ = ⎢0 1 0 ⎥ ⎨0 ⎬ = ⎨0 ⎬
⎪ z' ⎪ ⎢0 0 1⎥ ⎪1⎪ ⎪1⎪
⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎩ 1⎭ ⎣
r
a partir de los cuales se obtiene la velocidadangular del sólido ( ω x'1 y'1 z'1 ) en dicha base,
0
⎧ x'1 ⎫ ⎡1
⎪⎪⎢
⎨ y'1 ⎬ = ⎢0 cos θ
⎪ z' ⎪ ⎢0 − sen θ
⎩ 1⎭ ⎣

r [B ]
i1 ⎯⎯→ x'1 y'1 z'1

r

ω x'1 y'1 z'1

⎧ω x' ⎫
⎪ 1⎪ .
= ⎨ω y'1 ⎬ = ψ
⎪ω ⎪
⎩ z'1 ⎭

⎧0⎫ .
⎪
⎪
⎨sen θ ⎬ + θ
⎪cos θ ⎪
⎩
⎭

.
⎧
⎫
⎪
⎧1⎫ . ⎧0 ⎫ ⎪ . θ
⎪
⎪⎪
⎪⎪ ⎪
0 ⎬ + ϕ ⎨0 ⎬ = ⎨ ψ sen θ ⎬
⎨
.⎪
⎪0 ⎪
⎪1⎪ ⎪ .
⎩⎭
⎩ ⎭ ⎪ψ cos θ + ϕ ⎪
⎩
⎭

r
Lavelocidad angular del sistema de referencia ( Ω x'1 y'1 z'1 ) en la base con movimiento de precesión y
r
nutación ( x'1 , y'1 , z'1 ) coincide con la del sólido ( ω x'1 y'1 z'1 ) en todos los términos, excepto en la
.

componente de Euler correspondiente a la rotación propia ( ϕ )

r

Ω x'1 y'1 z'1

⎧.⎫
⎪θ⎪
⎪.
⎪
= ⎨ψ sen θ ⎬
⎪.
⎪
⎪ψ cos θ ⎪
⎩
⎭

Dado que se está considerando elcaso de precesión estacionaria, con las condiciones cinemáticas ya
indicadas anteriormente,
⎧θ = cte
⎪.
⎪
precesión estacionaria ⎨ψ = cte
⎪.
⎪ϕ = cte
⎩
r
r
las expresiones de velocidad angular del sólido ( ω x'1 y'1 z'1 ) y del sistema de referencia ( Ω x'1 y'1 z'1 ),

quedan reducidas a,
r

ω x'1 y'1 z'1

⎫
⎧
0
⎪
⎪.
⎪
⎪
= ⎨ ψ sen θ ⎬
.⎪
⎪.
⎪ψ cos θ + ϕ ⎪
⎭
⎩

r

Ωx'1 y'1 z'1

⎧0⎫
⎪
⎪.
⎪
⎪
= ⎨ψ sen θ ⎬
⎪
⎪.
⎪ψ cos θ ⎪
⎭
⎩

Se pretende desarrollar con ellas el equilibrio dinámico en un giróscopo de forma que cumpla con la
expresión,

∑

.
.
r
r
r
r
r
M G = H G = H G x'1 y'1 z'1 + Ω x'1 y'1 z'1 × H G x' y' z'
111
14243
14243
&
[T ] G {ω}

[T ] G {ω}

aplicable a estudios en bases en las que el tensor de inercia másico ( [T...