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TEMA III.- FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: TEOREMA DE TAYLOR.
OPTIMIZACION DE CAMPOS ESCALARES.
GUION

1.- FORMULA DE TAYLOR.
1.1. Polinomio de Taylor.
1.2. Teorema.
2.- OPTIMIZACION DE CAMPOS ESCALARES.
2.1. Definiciones básicas.
2.2. Condición necesaria de extremo relativo. Puntos críticos.
2.3. Determinación de extremos locales: condición suficiente.
2.4. Extremos condicionados.Método de los multiplicadores de Lagrange.
2.5. Cálculo de extremos absolutos de una función continua sobre un compacto.

E J E R C I C I O S (TEMA III)

1.- Obtener, si es posible, en (0,0) las tres primeras diferenciales de las siguientes funciones:
b) f(x,y) = y+ exy ;
c) f (x,y) = (e –x+2y , (x+2)2 .sen (y) ) ;
a) f(x,y) = ex+y .cos(x+y) ;
2.- Obtener el desarrollo de Taylor, en torno delpunto (1,-1), de f(x,y) =

y2 , con término complementario en
x3

el lugar de las derivadas terceras.
3.- a) Obtener el polinomio de Taylor hasta los términos de 2º orden de la función f(x,y) = x3 + y2 + xy2 en
potencias de (x-1) e (y-2).
b) Desarrollar en el origen hasta el orden 3 la función g(x,y) = ex.cos y.
4.- Desarrollar en el origen hasta el orden 3 las funciones:
a)f(x,y) = excos y ; b) f(x,y) = (x+2)2 .sen y ; c) f(x,y) = e-x+2y ; d) f(x,y,z) = 1 – cos a(x+y+z).
5.- Se considera la ecuación sen (ax+by+z) + ecxy + z + x + 2y = 1. Hallar a, b y c para que los términos hasta
el grado 2 del desarrollo de McLaurin de la función z(x,y), definida implícitamente en un entorno del
origen de coordenadas por la ecuación anterior, sean nulos.
6.- Usar el desarrollo deMcLaurin de orden 2 para estimar un valor aproximado de e0,1 . sen (0,2).
7.- a)Calcular la diferencial de la función f(x,y,z)=

x 2 + y 2 + z 2 en el punto (2,2,1).

b) A partir del resultado anterior, estimar el valor de la expresión

2.012 + 1.98 2 + 1.05 2

8.- Dada la función z=ln(xy2), se pide:
a) Determinar la curva de nivel que pasa por el punto (1,1).
b) Comprobar que (1,1) es unpunto no singular de ella y por tanto que hay una función y=y(x) que
coincide con su gráfica en un entorno del punto 1.
c) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de y=y(x) en x=1.
9.- Dada la ecuación x2 y2 – 3x3 y - y7– 5 = 0, comprobar que define en un entorno del punto (1, -1) una función y = y(x). Obtener el desarrollo de Taylor de la función y = y(x) hasta los términos de 2º orden.
10.- Seaz=z(x,y) la función definida implícitamente por y2z + x(lg z-1)=0 con z(1,-1)=1. Obtener el polinomio de Taylor de 2º grado entorno al punto (1, -1).
11.- Hallar los extremos relativos de: a) f(x,y) = x3 + 3xy2 -15x – 12y ; b) g(x,y) = x4 + y4 – (x-y)2 ;
c) h(x,y) = x4 + 2px2 + qy2 , analizando los distintos valores de p y q, siendo q≠0.
12.- Hallar los extremos relativos, si existen, de: a)f(x,y) = ⎢x+y-1 ⎢ ; b) g(x,y) = log
13.- Estudiar los extremos relativos de: a) f(x,y,z) = x2 + (y-3)2 + (z+1)2 ;

3

ex

4

− 2x 2 + y 2 +1

.

b) f(x,y,z) = 4-[x(y-1)(z+2)] 2

14.- Se considera la función f(x,y) = (3-x)(3-y)(x+y-3). Se pide:
a) Determinar los extremos de f y clasificarlos.
b) Analizar donde se alcanzan los valores máximos y mínimos de f sobre el C = { (x,y)/ 0≤ x≤ 3 ;
3-x ≤ y ≤ 3}
c) Analizar también los valores máximos y mínimos de f sobre el segmento que une los puntos
(0,0) y (3,3).

15.- Sabiendo que la suma de tres números positivos es 27, demostrar que su producto es ≤ que 729.
16.- Hallar, en los dominios que se indican, los extremos absolutos de la función dada en los siguientes casos:
a) f(x,y) = 3xy – 6x – 3y + 7 en el triángulo devértices (0, 0) , (3, 0) y (0, 5).
b) f(x,y) = 3x2 + 2y2 – 4y en D≡ Región del plano xy acotada por las gráficas y=x2 e y=4.
c) f(x,y) = x2 + xy en D={(x,y) / ⏐x⏐≤2 , ⏐y⏐≤1 }
d) f(x,y) = x2 + xy +y2 definida en el disco x2 +y2 ≤ 1
e) f(x,y) = 4x2 + 9y2 –x2.y2 sobre C = {(x,y) / x2 + y2 ≤ 4 }
f) f(x,y) = e –x - 2y - e – 2x - y sobre C = {(x,y) / 0 ≤ x, 0 ≤ y }
⎧x 2 + y 2 si (x, y) ≠ (0,0)
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