Grabados en costa rica

CAPÍTULO 3 Función Exponencial y Función Logarítmica

3.1)

Repaso de propiedades de las potencias

Por su uso e importancia, es necesario revisar las propiedades de las potencias, que se resumen a continuación.

a m  a n  a m n

a 
0

m n

 a mn

an a    n b b a   b
n

n

a 1 a n  1 an

bn b    n a a

n

m

a n  n am

am  a mn na

3.2)

Función Exponencial

Definición Sea f una función, f : IR  IR  tal que f x   a x , a > 0, a  1 , a f se le llama función exponencial de base a .

La gráfica de una función exponencial depende de la base, a saber:

Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I N. Figueroa & V. Ramírez

Caso 1:

f : IR  IR  , f x   a x , a  1 . La gráficapresenta la forma siguiente:

y

(0,1)

x Aquí podemos decir que la gráfica de toda función exponencial cuya base sea mayor que uno, tiene las siguientes características:


Su dominio es IR . Su ámbito es IR  . Es biyectiva. Es estrictamente creciente. Es asintótica al eje X negativo. Interseca al eje Y en 0,1 . Es cóncava hacia arriba.

    



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Caso 2:

f:IR  IR  , f x   a x , 0  a  1 , la gráfica presenta la forma siguiente:

y

(0,1) x En este caso podemos decir que la gráfica de toda función exponencial cuya base sea mayor que cero y menor que uno, tiene las siguientes características:



Su dominio es IR . Su ámbito es IR  . Es biyectiva. Esestrictamente decreciente. Es asintótica al eje X positivo. Interseca al eje Y en 0,1 . Es cóncava hacia arriba.

    



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Función exponencial de base e Sea f una función, f : IR  IR  tal que f x   e x , a f se le llama función exponencial natural.

Recordemos que e  2.7182818459...y es claro que este número es un número irracional, mayor que 1, por lo que su gráfica es semejante a la del caso 1.

3.3)

Función Logarítmica

Iniciamos este estudio con un resultado que para todos es claro: 28  256. Consideremos ahora la pregunta ¿a cuál número debemos elevar el 2 para obtener 256? Para responderla debemos encontrar un número x tal que 2 x  256 ; de aquí, x  8 . Eneste caso, diremos que 8 es el logaritmo de 256 en base 2 y escribimos log 2 256  8. Es decir que:

28  256  log 2 256  8
Así hallar el logaritmo de un número dado es “encontrar el exponente de una potencia cuyo valor es el número dado”. Entonces, podemos decir que el logaritmo de base a de un número x es el exponente al cual debe elevarse a para obtener x . En términos generales: log a x  y a y  x

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Donde y  log a x , se llama notación logarítmica y a y  x , se llama notación exponencial. Además, es conveniente señalar que las bases más usadas en el trabajo con logaritmos son 10 y e ; a los respectivos logaritmos se les llama logaritmos decimales y logaritmos naturales oneperianos. En estos casos se acostumbra no escribir la base, es decir:

log 10 x  log x ln e x  ln x
Definición Sea f una función, f : IR   IR tal que f x   log a x, con a  0 , a  1 , a f se le llama función logarítmica.

La gráfica de una función logarítmica depende de la base, a saber: Caso 1:

f : IR   IR tal que f x   log a x, a > 1, la gráfica es una parábola de la siguienteforma:

En este caso podemos decir que la gráfica de toda función logarítmica de base mayor que 1 cumple las siguientes características:


Su dominio es IR  .

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Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I N. Figueroa & V. Ramírez
    

Su ámbito es IR . Es biyectiva. Es estrictamente creciente. Es asintótica al eje Y negativo. Interseca al eje X en...