Grado

´ MATEMATICAS I: grupo 2. 2012-2013.

E. Ingenier´ Industriales ıas

´ PROPIEDADES BASICAS de las aplicaciones lineales Definici´n. Una aplicaci´n f : V → W entre dos espacios vectoriales V y W eslineal si o o 1. f (u + v) = f (u) + f (v) , ∀ u, v ∈ V . 2. f (λ u) = λf (u), ∀ λ ∈ K, u ∈ V .

Se denota por L(V, W ) al conjunto de todas las aplicaciones lineales de V en W . Tipos deaplicaciones lineales Endomorfismo: si V = W . El conjunto de endomorfismos de V se denota por L(V ). Isomorfismo: si f es biyectiva. Se dice que dos espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe unisomorfismo f : V → W . Todo espacio vectorial V de dimensi´n n es isomorfo a Kn porque la aplicaci´n o o f: V −→ Kn u → (u)B = (x1 , . . . , xn )

que lleva cada vector en sus coordenadas en una base B es unisomorfismo. Propiedades f es lineal ⇐⇒ f (λ u + µ v) = λ f (u) + µ f (v), ∀ λ, µ ∈ K, u, v ∈ V . f (⃗ V ) = ⃗ W , es decir, lleva el vector 0 de V en el de W . 0 0 f (−u) = −f (u), ∀ u ∈ V . Si V esde dimensi´n finita y B = {a1 , . . . , an } es una base, f queda determinada de o forma unica por las im´genes de la base, f (a1 ), . . . , f (an ). ´ a Si f es inyectiva: {u1 , . . . up } es libre =⇒{f (u1 ), . . . , f (up )} es libre. Si f es sobre: {u1 , . . . , up } es generador de V =⇒ {f (u1 ), . . . , f (up )} es generador de W . Si f es biyectiva, {a1 , . . . , an } base de V =⇒ {f (a1 ),. . . , f (an )} base de W . Es decir, un isomorfismo transforma una base de V en una base de W . Dos espacios vectoriales de dimensi´n finita que sean isomorfos tienen la misma dimensi´n. o oSubespacios n´ cleo e imagen u Sea f : V → W una aplicaci´n lineal. Se definen los subespacios n´cleo e imagen de f como o u Ker f = {u ∈ V | f (u) = ⃗ W } ⊂ V , 0 Im f = {f (u) | u ∈ V } = f (V ) ⊂ W .Propiedades f is inyectiva ⇐⇒ Ker f = ⃗ V . 0 f es sobre⇐⇒ Im f = W . B = {a1 , . . . , an } es una base de V =⇒ Im f = ⟨{f (a1 ), . . . , f (an )}⟩. 1

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