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Representación de transformaciones tridimensionales

La translación, escalamiento, rotación y sesgo en tres dimensiones, es simplemente una extensión de la quese lleva a cabo en dos dimensiones. Desde este punto de vista podemos representar:

Translación

Escalamiento

Rotación

Podemos componer rotacionestridimensionales a partir de las tres matrices de rotación bidimensional sobre cada uno de los ejes x, y, y z.

}

Sesgo

Existen tres matrices de sesgo tridimensionalcorrespondientes a las matrices de sesgo bidimensional. El sesgo (x,y) es

Composición de transformaciones tridimensionales

Podemos descomponer una transformacióntridimensional en

M = SRT
Componer una matriz de translación y escalamiento resulta fácil, pero no es el caso de la matriz de rotación. Para la rotación debemosanalizar las propiedades de esta

Para el caso de la matriz R tiene la forma

podemos mostrar que:

1.- Cada vector ri, tiene magnitud unitaria
2.- Cada uno esperpendicular al otro riT rj=0
3.- La inversa de la matriz es la matriz transpuesta
4.- El determinante de la matriz de rotación es 1.

Ejemplo

Consideremos el caso decalcular la transformación, para llevar los puntos P1 =[2,1,0]T, P2 =[4,2,0]T y P3 = [2,3,0]T (definidos en el plano xy) de la posición original a la posicióndestino (en el plano zy).

Paso 1.

Calculamos la translación al origen T(-x1, -y1, -z1)

Paso 2.

Calculamos la matriz de rotación

donde

a) Rz es el vectorunitario sobre el vector que va de P1 a P2, P1P2

b) Rx es el vector perpendicular al plano definido por P1, P2 y P3

c) Finalmente

Para los datos dados

Ejemplo
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