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Álgebra Lineal Ruth Cueva - Felipe Navas - José Luis Toro Profesores de la Escuela Politécnica Nacional

Edición general:
Juan Carlos Trujillo

Editores:
Fabián Barba, Juan Carlos Trujillo Profesores de la Escuela Politécnica Nacional

Quito - Febrero 2009

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Matrices Determinantes Sistemas lineales
por Ruth Cueva Edición: Fabián Barba Revisión: Juan Carlos Trujillo

5Objetivos
El objetivo general de esta parte es: Resolver problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales de orden 4 por 4 a lo más, utilizando las propiedades básicas de las matrices y de los determinantes, a un nivel reproductivo. Para alcanzar el objetivo general, se proponen los siguientes objetivos específicos: 1. Identificar los diferentes tipos de matrices a partir de sudefinición a un nivel de familiarización. 2. Calcular una matriz escalonada reducida por filas a partir de una matriz dada, mediante operaciones elementales de fila, a un nivel reproductivo. 3. Resolver problemas con elementos matriciales usando las operaciones de suma de matrices, multiplicación de un escalar con una matriz y la multiplicación entre matrices, a un nivel productivo. 4. Determinar lainversa de una matriz de orden 4 por 4 a lo más, a partir de las propiedades básicas de las operaciones elementales de fila a un nivel reproductivo. 5. Identificar las propiedades fundamentales del determinante de una matriz de orden n, mediante las operaciones elementales de fila y la definición a un nivel reproductivo. 6. Calcular el valor de un determinante de una matriz de orden n, usando suspropiedades y la definición a un nivel reproductivo. 7. Calcular la matriz inversa de una matriz de orden n a partir de su definición y de las propiedades de los determinantes a un nivel reproductivo. 8. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes reales hasta de orden 4 × 4, a partir de las operaciones elementales de fila o de las propiedades de los determinantes a un nivelreproductivo.

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Matrices
1.1 Definiciones

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En este libro, utilizaremos In para representar el conjunto de todos los números naturales desde 1 hasta n. Es decir: In = {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ n} = {1, 2, 3, . . . , n}.

Definición 1.1 (Matriz) Sean m ∈ N y n ∈ N. Una matriz A sobre un campo K es una función A definida por:

Cada aij ∈ K se denomina elemento de la matriz A.

A : Im × In −→ K (i,j) −→ A(i, j) = aij .

(1.1)

Como el conjunto Im × In tiene m × n elementos, la matriz A tiene m × n elementos, los mismos que se disponen en un arreglo rectangular de sus elementos, dispuestos en m filas y en n columnas de la siguiente forma:   a11 a12 · · · a1n a a22 · · · a2n   A =  21 (1.2) . . . . . . . . . . . . . . . .  . am1 am2 · · · amn Por esta razón, se dice que la matriz Aes de orden m por n y se la representa por: A = (aij )m×n . El conjunto de las matrices de orden m por n es notado Mm×n . Si se quiere especificar que el conjunto de las matrices es sobre el campo de los números reales R o de los números complejos C, se puede escribir Mm×n (R) o Mm×n (C), respectivamente. Así, la expresión A ∈ Mm×n (C) nos dice que la matriz A es una matriz de orden m por n (m filasy n columnas) y que sus elementos son números complejos.
Definición 1.2 (Igualdad de matrices) Dos matrices A = (aij )m×n y B = (bij )p×q son iguales si y solo si:

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1. m = p, n = q , y 2. aij = bij para todo i = 1, 2, . . . , m y todo j = 1, 2, . . . , n.

Matrices

Es decir, dos matrices son iguales si y solo si son del mismo orden y sus correspondientes elementos son iguales. Ejemplo1 Las matrices
 5 −4 2 2 −1 A= 0 −3 −2 7   5 x 2 B = 0 2 y  z −2 7 

y

son iguales si x = −4, y = −1 y z = −3, ya que son del mismo orden y el resto de elementos correspondientes son iguales entre sí.

Los nombres dados a las matrices que se definen a continuación aprovechan el hecho de que se han dispuesto los elementos de la matriz en un arreglo rectangular de los mismos....
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