GRUPO 4 UNIDAD

TRABAJO DE MATEMATICAS
Números Complejos
Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica .El número a es la parte real del número complejo. El número b es la parte imaginaria del número complejo. Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro. El conjunto de todosnúmeros complejos se designa por .

Los números complejos a + bi y -a -bi se llaman opuestos.
Los números complejos z= a + bi y z = a − bi se llaman conjugados. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria y se los puede representar mediante un plano cartesiano.
Ejercicio: representación
1. Representar en un plano cartesiano los siguientesnúmeros imaginarios (5 y -5)

Ejercicos: Operaciones entre números complejos
1. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
2. (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(5 + 2i) · (2 − 3i) =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
3.

Matrices
Se denomina matriz a todoconjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...
CLASES DE MATRICES
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Sedice que una matriz cuadrada n  n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejercicio: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
Lamatriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A· I = I ·A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, lasmatrices son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por
diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de unamatriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m  n, entonces AT = es la matriz n  m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BTAT.
Matrices simétricas
Se dice que una matrizreal es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = -A.
Ejercicio:
Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica niantisimétrica.
Matrices ortogonales
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.
Consideremos una matriz 3  3 arbitraria:
Ejercicio:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica,...