Grupos

Este trabajo est´ dedicado a la memoria de: a Juana Mora Mu˜oz (1909-2004), mi madre, qui´n me dio mucho m´s que n e a la vida. Amancio Pedro Villanueva Salmer´n (1941-2004), camarada y amigo eno tra˜able, de qui´n recib´ apoyo en los momentos m´s dif´ n e ı a ıciles en mi vida de estudiante.

PRESENTACIÓN
La Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAEH) y la Sociedad Matemática Mexicana(SMM) se complacen en presentar esta primera publicación conjunta de la obra Introducción a la Teoría de Grupos del Dr. Fernando Barrera Mora, Profesor Investigador del Centro de Investigación en Matemáticas (CIMA) de la UAEH y miembro activo de la SMM.

La edición de esta obra se enmarca en el programa que está desarrollando la presente gestión rectoral de la UAEH, una de cuyas componentes esimpulsar la elaboración de libros de texto, para integrar un acervo propio que incida directamente en la formación de sus estudiantes, así como dar a conocer, a nivel nacional, las obras que producen sus profesores investigadores. Esta estrategia coincide con el propósito fundamental que persigue la SMM para difundir la actividad matemática nacional.

Es importante señalar que la UAEH y la SMMtrabajaron en estrecha colaboración para realizar el exitoso XXXVI Congreso Nacional de la SMM, celebrado en las instalaciones de la UAEH en octubre de 2003, y con la publicación conjunta de esta obra se inicia una, aún más cercana, vinculación entre el Comité de Publicaciones Electrónicas de la SMM y el Consejo Editorial de la UAEH, que conducirá a la consecución de objetivos académicos comunes.Reiteramos el beneplácito por la edición de esta obra que nos impulsa a continuar desarrollando una participación activa de los miembros del CIMA de la UAEH en las actividades científicas de la SMM.

Lic. Juan Manuel Camacho Bertrán Rector de la UAEH

Dr. Alejandro Díaz Barriga Casales Presidente de la SMM

´ Indice general
0.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . o 1. Definiciones y resultados generales 1.1. Algunas propiedades de los enteros . 1.1.1. Aritm´tica en Z . . . . . . . . e 1.1.2. El Algoritmo Euclidiano . . . 1.1.3. Los Enteros M´dulo n . . . . o 1.1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . 1.2. Generalidades sobre grupos . . . . . 1.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . ´ 1.3. Indice y el Teorema de Lagrange . . . 1.3.1. Ejercicios . . . .. . . . . . . 1.4. Subgrupos normales y grupo cociente 1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . 1.5. Grupos c´ ıclicos . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . 1.6. Los teoremas de isomorfismo . . . . . 1.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . 1.7. Producto directo de grupos . . . . . . 1.7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 11 11 11 15 17 20 21 28 29 34 35 37 38 40 41 45 46 48 51 51 61 62 65 65 70 72

2. Grupos de permutaciones y acciones de grupo 2.1. El grupo de permutaciones y el teorema de Cayley 2.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Acci´n de un grupo en un conjunto .. . . . . . . o 2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. p-grupos y los teoremas de Sylow . . . . . . . . . 2.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Grupos de orden pq . . . . . . . . . . . . . . . . . i

´ INDICE GENERAL

II

3. Grupos abelianos finitos y automorfismos de grupos 3.1. Grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1....