Grupos
Páginas: 70 (17290 palabras)
Publicado: 20 de agosto de 2012
Notas del curso de Algebra Moderna I
´ Indice general
1. Grupos. 1.1. Operaciones binarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Semigrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ejemplos de grupos. 2.1. Grupo aditivo de los enteros m´dulo n. o 2.2. Grupos sim´tricos. . . . . . . . . .. . e 2.3. Permutaciones y notaci´n c´ o ıclica. . . . 2.4. Grupos generales lineales. . . . . . . . 2.5. Grupos di´dricos. . . . . . . . . . . . . e 2.6. Productos directos externos. . . . . . . 3. Nociones b´sicas. a 3.1. Algunas propiedades de los grupos. . 3.2. Grupos abelianos. . . . . . . . . . . . 3.3. Orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Conjugaci´n. . . . . . . . . . . . . . o3.5. Conjugaci´n en los grupos sim´tricos. o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5 5 6 7 9 9 9 10 11 11 12 13 13 14 14 16 16 18 18 19 19 20
4. Homomorfismos. 4.1. Homomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Algunas propiedades de los homomorfismos. 4.3. Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Grupos de orden menor o igual a 8. . . . . .
22 5. Subgrupos. 5.1. Subgrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7.
Generadores. . . . . . . . . Grupos c´ ıclicos. . . . . . . . Centralizadores y el centro. Productos de subconjuntos. Clases laterales izquierdas . Teorema de Lagrange. . . .
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6. Subgrupos normales. 6.1. Subgrupos normales. . . . . . . 6.2. Productos directos internos. . . 6.3. Productos semidirectos internos. 6.4. N´ cleos e im´genes. . . . . . . . u a 6.5. Transposiciones. . . . . . . . . . 6.6. Grupos alternantes. . . . . . . . 6.7. Grupos simples. . . . . . . . . . 6.8.Simplicidad de An para n ≥ 5. . 6.9. Grupos especiales lineales. . . . 6.10. Normalizadores. . . . . . . . . .
7. Grupos cocientes. 37 7.1. Grupos cocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.2. Grupos proyectivos especiales lineales. . . . . . . . . . . . . . 38 7.3. Conmutadores y grupos abelianizados. . . . . . . . . . . . . . 39 8. Teoremas de isomorfismo. 40 8.1. Teoremas deisomorfismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2. Teorema de la correspondencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9. G-conjuntos. 9.1. G-conjuntos. . . . . . . . . . 9.2. Teoremas de representaci´n . o 9.3. Orbitas y estabilizadores. . . 9.4. Ecuaci´n de clase. . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 42 44 44 45
10.Teoremas de Sylow. 47 10.1. p-grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 10.2. Teorema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 10.3. Teoremas de Sylow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
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10.4. Aplicaciones de los teoremas de Sylow. . . . . . . . . . . . . . 49...
´ Indice general
1. Grupos. 1.1. Operaciones binarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Semigrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ejemplos de grupos. 2.1. Grupo aditivo de los enteros m´dulo n. o 2.2. Grupos sim´tricos. . . . . . . . . .. . e 2.3. Permutaciones y notaci´n c´ o ıclica. . . . 2.4. Grupos generales lineales. . . . . . . . 2.5. Grupos di´dricos. . . . . . . . . . . . . e 2.6. Productos directos externos. . . . . . . 3. Nociones b´sicas. a 3.1. Algunas propiedades de los grupos. . 3.2. Grupos abelianos. . . . . . . . . . . . 3.3. Orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Conjugaci´n. . . . . . . . . . . . . . o3.5. Conjugaci´n en los grupos sim´tricos. o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5 5 6 7 9 9 9 10 11 11 12 13 13 14 14 16 16 18 18 19 19 20
4. Homomorfismos. 4.1. Homomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Algunas propiedades de los homomorfismos. 4.3. Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Grupos de orden menor o igual a 8. . . . . .
22 5. Subgrupos. 5.1. Subgrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7.
Generadores. . . . . . . . . Grupos c´ ıclicos. . . . . . . . Centralizadores y el centro. Productos de subconjuntos. Clases laterales izquierdas . Teorema de Lagrange. . . .
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6. Subgrupos normales. 6.1. Subgrupos normales. . . . . . . 6.2. Productos directos internos. . . 6.3. Productos semidirectos internos. 6.4. N´ cleos e im´genes. . . . . . . . u a 6.5. Transposiciones. . . . . . . . . . 6.6. Grupos alternantes. . . . . . . . 6.7. Grupos simples. . . . . . . . . . 6.8.Simplicidad de An para n ≥ 5. . 6.9. Grupos especiales lineales. . . . 6.10. Normalizadores. . . . . . . . . .
7. Grupos cocientes. 37 7.1. Grupos cocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.2. Grupos proyectivos especiales lineales. . . . . . . . . . . . . . 38 7.3. Conmutadores y grupos abelianizados. . . . . . . . . . . . . . 39 8. Teoremas de isomorfismo. 40 8.1. Teoremas deisomorfismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2. Teorema de la correspondencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9. G-conjuntos. 9.1. G-conjuntos. . . . . . . . . . 9.2. Teoremas de representaci´n . o 9.3. Orbitas y estabilizadores. . . 9.4. Ecuaci´n de clase. . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 42 44 44 45
10.Teoremas de Sylow. 47 10.1. p-grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 10.2. Teorema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 10.3. Teoremas de Sylow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
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10.4. Aplicaciones de los teoremas de Sylow. . . . . . . . . . . . . . 49...
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