Guía de fundamentos de álgebra

Ejercicios de Números Complejos
1. ¿Qué es un número complejo?
2. ¿Cómo se define la unidad imaginaria?
3. Si un número complejo z está dado como z = (α, β), cómo se escribe en términos de la unidad imaginaria j?
4. Sea z = 3 – 4j. Determine su inverso aditivo e inverso multiplicativo.
5. ¿Qué relación geométrica existe entre un complejo y su conjugado?
6. Sean z1 = ; z2 = ; z3 = .Sin cambiar a decimales, calcular:
,

b)

c) , 6 z1z2, ,

d)

7. Realice cada una de las operaciones que se indican y exprese el resultado en la forma a + ib
a) (3 – 4i)(6 + 2i) b) (1 – i)+ (2 + 4i) c) i(6 – 2i) d) 1/i
e) f) g) h) i3 – 4i + 2
i) i4 – 1 j) i20 + 1 k) 2i13 – i

8. Realice las operacionessiguientes, paso a paso, sin convertir a decimales. Al final indique el valor de las partes real e imaginaria de cada resultado.
a) ( ½ + i/3) + (-1/4 - 2i) b)
c) d)
9. Determine el número z que satisface la ecuación
(-1 – 2i)(z – 3i) = 4i
10. Un complejo z está dado en forma polar por z = r[cosθ + i sen θ], r es la distancia de z al origen y θ es el ángulo que forma elvector que va del origen a z, con la parte positiva del eje real. ¿Cuál es la distancia de al origen? ¿Cuál es el ángulo que hace el vector que va del origen a ? Escriba la forma polar de .

11. Sea z = a + ib. Determine el valor de las siguientes expresiones que deberán quedar en términos de a y b
a) b) Re(2z - 3 c)
12. Describa, geométricamente, al conjunto de puntos quesatisfacen la ecuación dada
a) b) c) Im(z - i) = Re(z + 1)
d) = 9
12. Localice los siguientes complejos en el plano; escriba su forma polar y exponencial, expresando, primero, el ángulo en grados y después, en radianes.

a) z1 = 3, z2 = -3j z3 = -1 + 3j z4 = 5 + 6j z5 = - 4 – 4j z6 = 2 – 5j

b) Tomando en cuenta los resultados del inciso anterior escriba laforma polar de .

c) Use la forma polar obtenida en los incisos anteriores para calcular:
, z4 , , , ,

13. Obtenga la forma polar de los siguientes complejos:

a)
b) Escribir la forma exponencial de los complejos dados en el inciso anteriór
c) Calcule las raíces que se indican y localícelas en el plano complejo. En cada caso, indique la distancia de las raíces alorigen y el ángulo que existe entre raíces consecutivas.
Nota: Por medio de segmentos de recta una las raíces consecutivas y observe que construye un polígono regular.



14. Determine todas las raíces de cada una de las siguientes ecuaciones:

z2 + 1 – j = 0, z2 + 2z + 2 = 0, z4 – 16 = 0, z2 + j = 0

15. Calcule


Sistemas de Ecuaciones lineales, Matrices yDeterminantes
1. ¿Cuándo se dice que un sistema de ecuaciones lineal es homogéneo?
2. Escriba un ejemplo de 4 ecuaciones con 3 incógnitas lineal y homogéneo
3. ¿Qué significa que un sistema de ecuaciones lineal sea incompatible?
4. ¿Qué significa que un sistema de ecuaciones lineal sea compatible?
5. Cuando un sistema de ecuaciones es compatible, ¿qué casos se pueden presentar?
6. ¿Porque se aseguraque cualquier sistema de ecuaciones lineales homogéneo es compatible?
7. Escriba las operaciones que definen las transformaciones elementales en una matriz
8. Recuerde que en el método de Gauss se aplican transformaciones elementales sólo sobre renglones

a) x + 2y – 3z = 9 b) x – 3y – 2z = 0
2x – y + z = 0 -x + 2y + z = 0
4x – y + z = 4 2x + 4y + 6z = 0

b) 2r +s = 3 d) w + x + 2y + z = 1
4r + s = 7 w – x – y + z = 0
2r + 5s = -1 x + y = -1
w + x + z = 2


Soluciones del libro

a) (2, 5, 1)
b) (c, c, -c) donde c es cualquier real
c) (2, -1)
d) Incompatible

9. ¿Qué es una matriz?, ¿Cuáles son los requisitos para que esté definida la suma de dos matrices A y B?,
10. ¿Cuándo está definido el...