Guía de geometría Euclidiana 1era parte

LA GEOMETRÍA ELEMENTAL DEL PLANO COMO SISTEMA AXIOMÁTICO

Geometría.
(Del lat. geometrĭa, y este del gr. γεωμετρία).
1. f. Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. El Diccionario de la lengua española (DRAE)
“La geometría es el estudio de las propiedades y características de ciertos conjuntos como rectas, ángulos, triángulos y círculos.

Un sistemaque depende del razonamiento deductivo se conoce como sistema lógico”
(Geltner Peter, Peterson Darrel)
Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entreotras.

Un Sistema formal o lógico consta de:
Términos indefinidos
Definiciones
Axiomas
Teoremas

Cualquier proceso de razonamiento debe iniciar en alguna parte con algunos supuestos no probados. Estos supuestos, cualesquiera que sean, pueden usarse para deducir (probar) otras proposiciones. Tales supuestos básicos no probados son llamados Axiomas.
Los Axiomas son asumidos con el propósito dever qué conclusiones lógicas pueden ser derivadas a partir de ellos.
En cualquier conjunto de axiomas deben estar presentes algunos términos indefinidos, puesto que la definiciones de términos siempre constan de otros términos (los cuales a su vez deben ser definidos, y así sucesivamente), es necesario disponer de algunos términos con los cuales podamos comenzar.
Cuando un conjunto de axiomas daorigen (implica) una nueva proposición, esa nueva proposición es llamada Teorema. Cuando consideramos un conjunto de axiomas y todos los teoremas que puedan obtenerse a partir de ellos por implicación válida, tenemos una entidad llamada Sistema Axiomático o simplemente Sistema formal o lógico o simplemente sistema.
(Introducción: Elementos del método axiomático, Prof. Nelson Tovar)
Estudiaremos laGeometría Elemental como un ejemplo de sistema axiomático, donde Los términos indefinidos son: Punto, recta y plano. Se sabe que tanto la recta y como el plano son conjuntos de puntos.

Definición: Llamamos espacio al conjunto de todos los puntos. El espacio es el Conjunto Universal de esta teoría.
¿Qué es realmente un punto o una recta o un plano? Puesto que son términos indefinidos, no hay unadefinición para ellos, pero pueden caracterizarse mediante propiedades o relaciones entre ellos que deben cumplir y que se establecen en los axiomas.

Diremos que una recta pasa por un punto si la recta contiene al punto.

Postulado 1.- a) Por dos puntos diferentes pasa una única recta.
Otra manera de expresarlo es: Dos puntos distintos determinan una única recta.
b) Toda rectacontiene al menos dos puntos diferentes.

Si una recta contiene a los puntos A y B, la denotamos AB.

Definición: Si tres o más puntos pertenecen a una recta se dice que están alineados o que son colineales.

Postulado 2.- a) Por tres puntos no alineados pasa un único plano.
Otra manera de expresarlo es: Tres puntos no alineados determinan un plano.
b) Todo plano contiene al menos trespuntos no alineados.

Postulado 3.- Si dos puntos diferentes están en un plano, la recta que ellos determinan está totalmente contenida en el plano.

Postulado 4.- (Postulado de la regla) Entre la recta y el conjunto de los números reales existe una correspondencia “biunívoca” que preserva la distancia y el orden.

El Postulado de la regla permite establecer coordenadas en la recta y enel plano. Así mismo podemos hablar de la distancia entre dos puntos A y B que denotamos por AB o también por d(A, B).
La correspondencia mencionada induce en la recta una relación de orden. Esta relación de orden nos permite, para los puntos de una recta cualquiera, hablar de “estar entre”, “ser anterior” (preceder), o “seguir a“. En particular se puede definir segmento de extremos A y B,...