Guía modelacion

Ejercicios en clase 2 Miguel Alfaro
1. De acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton, la tasa de cambio con respecto al tiempo de la temperatura T(t)de un cuerpo inmerso en un medio de temperatura
constante A es proporcional a la diferencia A − T . Esto es, dT =k⋅(A−T)
dt
a) Un trozo de carne de 4 libras, inicialmente a 50 oF, se pone en un horno a 375 oF a las 5:00 p.m. Después de 75 minutosse encontró que la temperatura de la carne era de 125 oF. ¿A qué hora estará a 150 oF?
b) Un tarro de crema, inicialmente a 25 oC, se va enfriar colocándola en el pórtico donde la temperatura es de 0 oC. Suponga que la temperatura de la crema ha descendido a 15 oC después de 20 minutos. ¿Cuándo estará a 5 o C?
2. Empleando el modelo del ejemplo número 5, resuelva los siguientes problemas:
a)En mayo de 1993 la población mundial alcanzó los 5.5 mil millones de personas y a partir de entonces aumentó a la tasa de 250 mil personas por día. Suponiendo que las tasas de nacimiento y muerte fuesen constantes, ¿para cuándo se esperaría una población mundial de 11 mil millones?
b) Cierta ciudad tuvo una población de 25.000 en 1960 y una población de 30.000 en 1970. Suponga que su poblacióncontinuará creciendo de forma exponencial a una tasa constante. ¿Cuánta población puede esperar esta ciudad para el año 2000?
c) Suponga que la población de un país crece a una tasa del 2% anual pero hay una emigración neta de N personas al año. El problema es predecir la población del país en función del tiempo. Formule un modelo continuo para tales efectos, considerando que en un comienzo existenX0 personas ¿Para qué valores de X0 la población tiende a desaparecer? ¿Para qué valores de X0 la población tiende a permanecer constante?
d) En cierto cultivo de bacterias, el número de estas se sextuplicó en 10 horas. ¿Cuánto tiempo tardó la población en duplicarse?
Según lo anterior responda lo siguiente:

3. El triángulo de Sierpinski es un fractal autosemejante originado por la iteracióninfinita del proceso geométrico reflejado en la siguiente figura:
Se construye un triángulo equilátero de longitud 1. En la primera iteración se unen los puntos medios de cada lado, formando un triángulo equilátero que se elimina. En la segunda iteración se eliminan los triángulos equiláteros que resultan de unir los puntos medios de los triángulos resultantes de la primera iteración, y asísucesivamente. Formule dos sistemas dinámicos que describan el área y perímetro de la figura resultante.
4. Empleando el modelo del ejemplo 2 resuelva los siguiente problemas:
a) Cuando nació su primer hijo, una pareja depositó $5.000 en una cuenta de ahorros que paga 8 % de interés compuesto continuamente. Se dejó que se acumularan los intereses devengados. ¿A cuánto ascenderá la cuenta en eldecimoctavo cumpleaños del joven?
b) Considere una cuenta de ahorros que contiene inicialmente A0 dólares y que genera interés a una tasa anual de r compuesta continuamente. Suponga que se permite que el interés se acumule y que se agregan depósitos a la cuenta a razón de Q dólares por año. Para simplificar el modelo matemático, suponga que estos depósitos son hechos continuamente.
• Obtenga laecuación diferencial correspondiente al saldo de la cuenta en t años.
• Suponga que usted desea hacer arreglos, al momento del nacimiento de su hija, para que ella tenga $40.000 disponible para los gastos de su educación en su decimoctavo cumpleaños. Usted planea hacerlo mediante pequeños depósitos, esencialmente continuos, en una cuenta de ahorros a razón de Q miles de dólares por año. La cuentaacumula intereses al 11% anual en interés compuesto continuo. ¿Cuál debe ser Q para que usted consiga sus propósitos?
c) Se hacen pagos continuamente sobre una hipoteca de P0 dólares, a razón de c dólares mensuales. Sea P(t) el capital (cantidad que todavía se adeuda) después
de t meses y r la tasa de interés mensual pagada por el deudor.
• Deduzca que la ecuación diferencial que rige el sistema...