Guia 04 Funciones De 2 O Más Variables

UNIVERSIDAD DEL BIO-BIO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
RE/HP/NC/nc

18 de mayo de 2015

´
Gu´ıa C´
alculo en varias variables: CALCULO
II
(220155)
1. Sea f (x, y) =
f (0, 1)

3x2 +5y
.
x−y

Encuentre Dom(f ) y grafique. Calcular si es posible f (1, −2), f (1, 1),

Departamento de Matem´
atica - Universidad del B´ıo-B´ıo - 2015

2. Un almac´en de art´ıculos deportivos enConcepci´on, tiene dos tipos de raquetas de tenis: las
marcas Venus Williams y Martina Hingis. La demanda de los consumidores de cada marca,
depende no solo del precio, sino tambi´en del precio de la marca competidora. Las cifras de
venta indican que si la marca VW vende a x d´olares cada raqueta, y la marca MH vende a y
d´olares cada raqueta, la cantidad de raquetas demandas al a˜
no ser´a de
D1 = 300 −20x + 30y
D2 = 200 + 40x − 10y
para las marcas VW y MH respectivamente. Exprese en ingreso anual total del almac´en por
la venta de estas raquetas como funci´on de los precios x e y.
3. Suponga que en una f´abrica la producci´on est´a dada por la funci´on de Cobb-Douglas
1

2

Q(K, L) = 60K 3 L 3

unidades, donde K es la inversi´on del capital medida en unidades de U S1,000 y L es el tama˜
no
de lafuerza laboral medida en horas-trabajador.
a) Calcule la producci´on si la inversi´on de capital es U S512,000 y se utilizan 1000 horas
trabajador.
b) Demuestre que si se duplica el capital y el tama˜
no de la fuerza laboral, se duplica tambi´en
la producci´on.
4. Al utilizar x trabajadores calificados e y trabajadores no calificados, un fabricante puede
producir Q(x, y) = 10x2 y unidades al d´ıa.En la actualidad hay 20 trabajadores calificados y
40 no calificados.
a) Cu´antas unidades se producen cada d´ıa?
b) En cu´anto cambiar´a el nivel de producci´on diaria, si se agrega 1 trabajador calificado a
la fuerza laboral?
c) En cu´anto cambiar´a el nivel de producci´on diaria, si se agrega 1 trabajador no calificado
a la fuerza laboral?
d ) En cu´anto cambiar´a el nivel de producci´ondiaria, si se agrega 1 trabajador calificado y
1 no calificado a la fuerza laboral?

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5. La producci´on de una f´abrica est´a dada por
2

1

Q(K, L) = 120K 3 L 3
unidades, donde K es la inversi´on del capital medida en unidades de U S1,000 y L es el tama˜
no
de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.
a) Calcule laproducci´on si la inversi´on de capital es U S125,000 y se utilizan 1,331 horastrabajador.
b) Qu´e le ocurre a la producci´on en a) si tanto el nivel de inversi´on y el tama˜
no de fuerza
laboral se reducen a la mitad?
6. Un fabricante se gan´o los derechos exclusivos sobre una nueva m´aquina industrial, que se
vender´a tanto en Chile como en el extranjero. El precio de cada m´aquina depender´a de lacantidad de ´estas que est´en disponibles. Si el fabricante suministra x m´aquinas para el mercado
nacional, e y m´aquinas para el extranjero, ´estas se vender´an en
60 −

y
x
+
5 20

miles de d´olares c/u en Chile y

x
y
+
10 20
miles de d´olares en el mercado extranjero. Exprese el ingreso R del fabricante como una
funci´on en x e y.
50 −

7. Encuentre todas las derivadas parciales de primer orden, delas siguientes funciones en los
puntos dados
a) f (x, y) = x2 + 2xy 2 +

2y
3x
5

en (0, 1)

b) f (x, y) = (x2 + xy + y) en (−1, −1)
√
c) f (x, y, z) = xze−2xyz en (0, 2)
d ) f (x, y) =

2x−3y
y−x

e) f (x, y) =

ln(x+2y)
y2

f ) f (x, y) =

xy 2
x2 y 3 +1

en (0, 1)
en (2, 2)

en (0, 0)

g) f (u, v) = uln(uv) en (−1, −1)
h) f (x, y) = ln( xy +

y
)
2x

i ) f (x, y) = xyln( xy ) +

en (2, −1)
y2x

+ ye−x en (1, 1)

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8. La productividad de un pa´ıs esta dada por
Q(K, L) = 30K 0,3 L0,7
unidades donde K es la inversi´on del capital medida en unidades de U S1,000 y L es el tama˜
no
de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.
a) Halle la productividad marginal del capital y la productividad marginal de la mano...