Guia calculo integral

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INTEGRAL INDEFINIDA
GUIA No 1
ELABORADA POR: Arizaldo Niño Suárez (arizaldoninosuarez@hotmail.com)

OBJETIVOS

1. definir la integral o antiderivadas, sus propiedades y aplicaciones.
2. aplicar las técnicas y formulas básicas de integración en la resolución de ejercicios y problemas.

Se considera que la integración es un procedimiento inverso a la derivación y es un método paradeterminar el área bajo una curva.

ANTIDERIVADAS

Una situación que se presenta en el cálculo es hallar la función de la cual se conoce su derivada. Este proceso es exactamente, la operación inversa de la derivación que llamamos antiderivacion o integración. si una función es derivable y luego se integra la función obtenida, el resultado es la función original.

el simbolo utilizado para laantiderivada de f es ʃ f(x) dx, que se lee “integral de f de x de x”. la expresión ʃ f(x) dx, es llamada la integral indefinida de la función f.

EJEMPLO 1:

se f(x) = 3x, de acuerdo con nuestra experiecia obtenida en derivación, podemos decir que una antiderivada de f(x) = 3x es f(x) = x3. pero observamos que existen otras antiderivadas de f(x) = 3x, como:

f(x) = x3 + 5, f(x) = x3 – 7,f(x) = x3 + 4/5

Todas estas funciones tienen por derivada a 3x y difieren únicamente en una constante, por lo cual podemos afirmar que: f(x) x3+c, donde c E R, define una familia completa de antiderivadas de f(x). En símbolos

ʃ 3xdx = x3+c

[pic]

OBSERVACION: Integrar es encontrar una función que al derivar, de el integrando.

La familia de curvas tiene la siguiente propiedad:“dado un punto arbitrario del plano (x1,y1) existe una única curva de la familia, que pasa por dicho punto”.
Esto significa que la constante de integración queda determinada cuando se especifica un punto por el cual pase la curva.

Ejemplo 2: hallar la antiderivada de f(x) = 3x que pase por el punto p(2,18)
La integral f(x) =3x, es x3+c, ya que d(x3+c)/ dx = 3x que es la función que se estaintegrando.
.Geométricamente, esta integral representa en el plano cartesiano una familia de curvas, cada una de las cuales corresponde a un valor diferente de la constante c.

la curva que deseamos es la que pasa por el punto (2,8), entonces reemplazamos en y = x 3+c los valores del punto para obtener el valor especifico de c; con x = 2, y = 18

y = x3+c
18 = 23+c
18 = 8 + c
18-8 = c
10= c

OBSERVACION: ʃ f(x) dx = f(x) + c si y solo si f´(x) = f(x)

Derivación
f(x) f(x)
Integración

Si n es cualquier número real, excepto -1 entonces:

ʃ xndx = (xn+1/n+1)+c c= constante arbitraria

Ejemplo 1: hallar ʃ x4dx
ʃ x4dx = (x4+1/4+1)+ c = (x5/5) + c = 1/5 x5+c

Ejemplo 2: hallar ʃ √x . dx
ʃ x1/2 . dx = (x1/2+1/1/2+1)+c = x3/2/3/2 + c
= 2/3x3/2 + c

Ejemplo 3: hallar ʃ 7x5dx
= ʃ 7x5dx = 7 ʃ x5dx
= 7 (x5+1/5+1) + c
= 7 x6/6 + c
= 7/6 x6 + c

Ejemplo 4: hallar ʃ dx
= ʃ 1dx = x + c

Ejemplo 5: hallar ʃ ( x4 – 4x +4 ) dx
ʃ x4.dx - ʃ ( 4x dx + ʃ 4 dx
= x4+1/4+1 + c1 - 4 x1+1/1+1 + c2 + 4x + c3
= 1/5 x5 – 4/2 x2 + 4x+ c
= 1/5 x5 – 2x2 + 4x + c

Ejemplo 6: hallar ʃ (senx+cosx) dx
= ʃ (senx dx + ʃ cosx dx
= - cosx + sen x + c

ejemplo 7: hallar ʃ 2sec2 x dx
2 ʃ sec2 x dx = 2 tan x + c

Ejemplo 8: hallar ʃ 2/x dx
= 2 ʃ dx/x
= 2 Ln [x] + c

Ejemplo 9: hallar ʃ 7/4 2ex dx
= 7/4 ʃ ex dx = 7/4 ex + c

Ejemplo 10: evaluar ʃ x1/3 - ∜x / x1/2 . dx
= ʃ x-1/2 (x1/3 – x1/4) dx
= ʃ (x-1/6 – x-1/4) dx
= ʃ x-1/6dx – ʃ x-1/4 dx
= x5/6/5/6 – x3/4/3/4 + c
= 6/5 x5/6 – 4/3 x3/4 + c

Ejemplo 11:hallar ʃ cosx/sen2x dx
=ʃ 1/senx cosx/senx dx
= ʃ cscx cotx dx
= -cscx + c

Ejemplo 12: hallar ʃ 5 dx / 1+x2
= 5 ʃ dx / 1+x2
= 5 arctan x + c

Ejemplo 13: ʃ (x+3)2dx
= ʃ (x2+6x+9) dx
= ʃ x2dx + ʃ 6xdx + ʃ 9dx
= 1/3 x3 + 6x2+ 9x + c

EJERCICIO No 1
Evaluar las siguientes integrales

1. ʃ x8dx
2. ʃ x4/5dx
3. ʃ x√x dx
4. ʃ dx/x3
5. ʃ x3+4x2-3/ x2 dx
6. ʃ...
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