GUIA DE APRENDIZAJE N 2 MATRICES

ASIGNATURA
ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE APRENDIZAJE N° 2
MATRICES

OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS
En una matriz, se consideran operaciones elementales por filas (OEF) a las
siguientes:
1. Intercambiar dos filas. Notación: F i j donde i y j representan las filas.
Ejemplo:







2

4

1
5

−2
0

1 



3  F13 

− 1 


5

0

1
2

−2
4

−1 

3 
1 

2. Multiplicar una fila por unnúmero real no nulo. Notación: F i (k ) donde i es la
fila a multiplicar y k el valor real por el cual se multiplica.

Ejemplo:







2

4

1
5

−2
0

1 

3  F2 ( −3)
− 1 







2

4

−3
5

6
0

1 

−9 
− 1 

3. Sustituir una fila por la suma de ella misma con el producto de otra por un
número real. Notación: F i j (k ) donde i y j representan las filas y k el
valor real por elcual se multiplica.
Ejemplo:







2

4

1
5

−2
0

1 

3  F23 ( −5)
− 1 







2

4

1
0

−2
10

1 

3 
− 16 

1

ASIGNATURA
ÁLGEBRA LINEAL
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

1ª) El determinante de una matriz no varía si se cambian filas por columnas, es
decir: Det (A) = Det (At)
2ª) Si se intercambian entre si dos filas, el determinante cambia de signo

1

3

-1

Ejemplo: 25
2 -2

3

1

0 =− 5
1
-2

2
2

-1
0 como puede comprobarse.
1

3ª) Si se multiplica una fila o columna por un número el determinante queda
multiplicado por dicho número.
−1 2
2 − 3 0 = -3
1

Ejemplo:

Se tiene que

y

3 −5 1
 1 − 1 2
 1 − 1 2




 2 − 3 0  F3 (2)  2 − 3 0 
 3 − 5 1
 6 − 10 2 





1
entonces

2

−1
−3

2
0 = -6

6 − 10 2

4ª) Si un determinante tiene dosfilas o dos columnas iguales su valor es
cero.
1 3 -1
Ejemplo:

1 3
2 -2

-1 = 0
1

como puede comprobarse.

5ª) Si un determinante tiene dos filas o columnas proporcionales, su valor es
cero.

Ejemplo:

2

3

-5

7

6

4

6

-9 = 0
- 10

como puede comprobarse.

2

ASIGNATURA
ÁLGEBRA LINEAL
6ª) Si a una matriz se le aplica una OEF del tipo F i j (k ) , el valor del
su determinante no varía.
−1 2
2−3 0 = - 3
1

Ejemplo:

Se tiene que

y

3 −5 1
 1 − 1 2
1 −1 2 




 2 − 3 0  F13 (− 3 )  2 − 3 0 
 3 − 5 1
0 − 2 − 5





−1
2 −3
1

entonces

2
0 =-3

0 −2 −5

En general, el cálculo de un determinante de cualquier orden se puede reducir al
de un determinante de un orden inferior, desarrollándolo por los elementos de una
fila o columna. Para facilitar el proceso, se desarrollapor la fila o la columna que
contenga más ceros, una vez hechas OEF.

Ejemplo:
Realice OEF en las siguientes matriz para obtener más ceros en ella y luego
calcule sus determinantes.

a)

b)

1 −1

2 1
A= 
3 2

5 − 2


1 

2 3 
1 − 2

3 1 
1

A = −10

1 
 1 −2 2


1 −2 4 
 3
B= 
3
2
1 − 2

 − 2 4 − 4 − 2 



B =0

3

ASIGNATURA
ÁLGEBRA LINEAL
MATRICES INVERTIBLES
Sedice que una matriz cuadrada A es invertible, es decir, tiene inversa, si
existe una matriz B con la propiedad de que
AB = BA = I
donde I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la
-1
denotamos por A . La condición necesaria para que una matriz sea
invertible es que su determinante sea distinto de cero.

Ejemplo:
2 1 
 y B =
Sean A = 
5 3

 3 − 5


 − 1 2

A =1 y B = 1 entonces ambas son invertibles
Además:
 2 1   3 - 5  1 0 
 ⋅ 
 = 
 = I
A ⋅ B = 
 5 3   - 1 2   0 1
 3 - 5   2 1  1 0 
 ⋅ 
 = 
 = I
B ⋅ A = 
 - 1 2   5 3   0 1

y

Luego como AB = BA = I entonces A y B son invertibles, siendo cada una
la inversa de la otra.

Método de Gauss para calcular la inversa de una matriz cuadrada
Sea A una matrizcuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A,
-1
que denotaremos como A , seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz M nx2n = (A I ) esto es, A está en la mitad
izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer
término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote,
hacemos ceros,...