Guia de limite

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|[pic] |UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL |
| |DE LA FUERZA ARMADA |
| |NUCLEO FALCON || |EXTENSION PUNTO FIJO |
| |UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA I |
| |LAPSO ACADÉMICO: II - 2008 |UNIDAD I: LIMITES Y CONTINUIDAD

1.1 Definición intuitiva de Límite
[pic]El concepto de límite se usa para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que en una sucesión o una función, al hablar de límite, decimos que tiene uno si se puede acercar a un cierto número (o sea, el límite) tanto como queramos.
Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en elanálisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

Ejemplo:
[pic]

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función  f (x):

|x |f (x) ||x − 2| || f (x) − 3||
|1.9 |2.61 ||1.9-2| = 0.1 ||2.61-3| = 0.39 |
|1.99 |2.9601 ||1.99-2| = 0.01 ||2.9601-3| = 0.0399 |
|1.999 |2.996001 ||1.999-2| = 0.001 ||2.996001-3| = 0.003999 |
|1.9999 |2.9960001 ||1.9999-2| = 0.0001||2.99960001-3| = 0.00039999 |
| | | | |
|2.0001 |3.00040001 ||2.0001-2| = 0.0001 ||3.00040001-3| = 0.00040001 |
|2.001 |3.004001 ||2.001-2| = 0.001 ||3.004001-3| = 0.004001 |
|2.01 |3.0401||2.01-2| = 0.01 ||3.0401-3| = 0.0401 |
|2.1 |3.41 ||2.1-2| = 0.1 ||3.41-3| = 0.41 |

Cuando x se aproxima a 2, por la izquierda, tomando valores menores que 2,  f (x) se aproxima, cada vez más a 3 (Límite Unilateral por la izquierda). Cuando x se aproxima a 2, por la derecha, tomando valores mayores que2,  f (x) se aproxima cada vez más a 3 (Límite Unilateral por la derecha).

Cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre  f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña.

Es decir, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también aun valor constante.[pic]
[pic]
De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función  f (x) cuando x tiende a 2, es 3. Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:

lim = x2 – 1 = 3
x 2
 [pic]Definición Formal de Límite o Épsilon -Delta
Sea  f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a esL, y se escribe:
   
[pic]

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista

[pic]Ejercicios resueltos (aplicando la definición epsilón-delta)
 
En los ejercicios, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilón-delta:
[pic] [pic]
 [pic]1. Solución:
[pic]

2. Solución:
[pic]
Teoremas de límites
[pic][pic] [pic]Teorema...
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