Guia de matemática

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Facultad de Ingeniería

Guía de Ejercicios - Álgebra Lineal

Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales

1. La siguiente figura muestra las rutas de una línea aérea internacional que une cinco ciudades. Una línea que une dos ciudades indica que existe un vuelo directo entre ellas.

Esta información se puede representar mediante una matriz [pic]dada por:
[pic]
Calcule [pic] ycompruebe que la entrada ij de [pic] representa el número de rutas con una escala entre las ciudades i y j.

2. Escriba por extensión las matrices [pic] de orden 3 definidas como sigue y luego calcule sus respectivas trazas.
[pic] [pic] [pic]

3. Resuelva la relación matricial en x, y, z, v, [pic]

4. Dadas matrices [pic] , [pic] y [pic] ,determine [pic] y la matriz X que satisface [pic].

5. Considere las matrices [pic],

[pic]. Sabiendo que A·B = Ct y calculando previamente el

valor de y, z, determine la matriz X en términos de p tal que

[pic].

6. Considerando las matrices: [pic], determine:

a) los valores de a, b y c de modo que[pic].

b) usando los valores de a, b, c calculados anteriormente, obtenga la matriz X que satisface:

[pic]; donde I2 es la matriz identidad.

7. Si [pic] , muestre que [pic] pero que [pic].

8. Considere A = [pic]. a) Si [pic], obtenga f (A).

b) Si [pic], obtenga g (A).

9. Considere las matrices [pic] y [pic] para verificar que [pic] essimétrica. Suponga que A es una matriz simétrica cualquiera y que B es una matriz tal que [pic] está definida para demostrar que [pic] es simétrica.

10. Suponga que [pic] conmutan y son tales que A es simétrica y B es antisimétrica. Demuestre que A·B es antisimétrica.

11. Demuestre que si A es una matriz de orden n, [pic] (I - A) (I + A) = 0.

12. Considere e1 = ( 1 0 0 ) , e2 = ( 0 10 ) , e3 = ( 0 0 1 ) y [pic].
a) Determine ei ·A, para i variando de 1 a 3.

b) Si A es una matriz cualquiera de orden 3, describa e1 ·A.

c) Generalice la situación observada para el caso en que [pic]

13. Si [pic], [pic] y [pic], resuelva para X la ecuación AXB = C.

14. Sea A = [pic]. Determine todas las matrices B tales que B·A = I.15. Considere la matriz [pic] para determinar [pic]. Determine además [pic].

16. Demuestre que [pic], la matriz [pic] es invertible y que [pic].

17. Considere el polinomio [pic] y la matriz [pic] para verificar que [pic]. Use este hecho para demostrar que A es invertible y para calcular [pic]

18. Una matriz [pic] se dice matriz escalar si [pic], para algún [pic]. SeaA una matriz escalar; demuestre que [pic].

19. Si [pic] es una matriz idempotente, demuestre que 2A – I es invertible y que su inversa es ella misma

20. Sean [pic] y [pic]. ¿Existe una matriz C tal que CA = B? Si existe, determínela.

21. Encuentre la matriz escalonada reducida por filas equivalente a:

|[pic] |[pic]|
|[pic] |[pic] |

22. Calcule la inversa de las siguientes matrices usando operaciones elementales fila:

a) [pic]
a) [pic]

b) [pic]
c) [pic]

23. ¿Para cuáles valores de [pic] la matriz [pic] es invertible?

24. Calcule la inversa de la matriz [pic], de orden 4, definidapor: para [pic], [pic]
25. Resuelva para X la ecuación matricial [pic] si [pic] y [pic].
26. Resuelva para X la ecuación [pic], donde [pic] y [pic].
27. Considere las matrices [pic] y [pic] para obtener la matriz X tal que [pic]. ¿Es BA invertible?

28. Resuelva para X e Y el sistema [pic] si A, B [pic].

29. En cada caso, escriba la ecuación matricial AX = B...
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