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Problemario 4 MA2115
Septiembre-Diciembre 2008

Errata:
∞ n=1

En la pregunta 2 del Problema-

rio 3, donde dice

cn xn

∞ n=1

i)

(cn )n xn

debe decir

En lo que sigue, lafunción

representa la función inversa de

f (x) = log(x) g(x) = ex
j) k)

  1 − cos(x) f (x) = x2 1/2
en

si si

x=0 x=0

1. Halle la representación en series de potencias de lassiguientes funciones alrededor del punto

c=0
en en

f (x) = x cos(2x) f (x) = x cos(2x)

c=0 c=π

c

indicado. Determine

el radio y el conjunto de convergencia de cada una de las series.
a)b) c) d) e) f

f (x) = 1 + x + 3x2 f (x) = 1 + x + 3x f (x) = ex
en
2

en en

c=0 c=1

2. Exprese, para cada una de las funciones del ejercicio 1, la integral
c+0,5 c−0,5

f (x)dx

comouna serie de números. Halle además una suma parcial de esta serie que aproxime a la integral con un error menor a

c=3
en

f (x) = 4ex−2 f (x) = 1/x

c=0 c = π/4 c=2

10−3 .

en

c=1
en3. Calcule la suma de las siguientes series

a)

)

f (x) = cos(x)

g) h)

f (x) = x log(x)

en

(−1)n
n=0 ∞

x4n n! x4n n! π 2n 62n (2n)!

  sen(x) f (x) = x 1
en

si six=0 x=0

b)

(−1)n
n=2 ∞

c=0

c)

(−1)n
n=0


d)

(−1)n
n=0

π 2n+1 42n+1 (2n + 1)! f (x) = 2 + e−x
3

4. Demuestre que

es una

solución de la ecuación diferencial

y+ 3x2 y = 6x2
5. Demuestre que

f (x) = (2 + log(x))/x

es

una solución del problema de valor inicial

x2 y + xy = 1, y(1) = 2.
6. Halle los valores de función
rt

r

para los cualesla ecuación di-

ferencial 7.
a)

y = e satisface la y + y − 6y = 0

¾Qué puede decir de una solución de la ecuación observarla?

y = −y 2

con sólo

b)

Compruebe que todos los miembrosde la familia

y = 1/(x + C), C ∈ R,

son soluciones de la ecuación diferencial anterior.
c)

¾Puede pensar en una solución a la ecuación

y = −y 2

que no sea

miembro de la familia...
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