Guia Derivadas Parciales Y Regla De La Cadena

1. Universidad Católica del Norte
Departamento de matemáticas
DERIVADAS PARCIALES Y REGLA DE LA CADENA
MA-289

Diciembre 2011

1. Encuentre las derivadas parciales primeras de las siguientesfunciones:
a) f (x; y) = x2

xy 2 + 4y 5

d) w = xez

c) w = ln(4u2 + 5v 3 )
e) f (x; y) =

g) z = Ln

x2

y2

yex + ze

f) f (x; y; z) = p

xy
x
y

y

1
x2 + y 2 + z 2

h) w = xy 2 z 3 ln(x + 2y + 3z)

x!y!
i) z = e x + e y
k) w = ln

b) z = x2 5x + y 2 5x

j) z = (2x + 3y)x + (2x + 3y)y

!
p
x2 + y 2 + z 2
p
1 + x2 + y 2 + z 2

1

2

l) w = (x2 y 3 z 4 ) x 3 y 4 z

Para las siguientes funciones hallaro demostrar lo que se indica:
p

y
+ + , hallar
a) z = ln
x
@z
+
b) z = ln (ex + ey ) , hallar
@x
x2

y2

@z
@x
@z
@y

2

+

@z
@y

2

@u @u @u
+
+
= (x + y + z)2
@x @y @z
y
y
@z
@z
d) z = x2 Ln
+ y 2Ln
, hallar x
+y
en función de z
x
x
@x
@y
x y
@z
@z
e) z = Ln
; hallar x
+y
x+y
@x
@y
c) u = x2 y + y 2 z + z 2 x , demostrar que

Sol.:

b) 1

e) 0

@2w
@2w
2. Hallar todas las segundas derivadasparciales y veri…que:
=
@y@x
@x@y
x y
a) w =
b) w = exy
y x
p
c) w = ln(x + x2 + y 2 )
d) w = x3 e 2y + y 2
3. Las siguientes ecuaciones se llaman Ecuación de Laplace:
@2u @2u
+
=0
@x2 @y 2

(casobidimensional)

@2u @2u @2u
+
+
=0
@x2 @y 2 @z 2

(caso tidimensional)

Demuestre que cada una de las siguientes funciones satisfacen a la correspondiente
ecuación de Laplace:
p
b) u(x; y) = e x cos y +e y cos x
a) u(x; y) = ln x2 + y 2
c) u(x; y) = xy 3 + x2 y

d) u(x; y; z) = p

1

x2 + y 2 + z 2

4. Usar la Regla de la Cadena para determinar las derivadas parciales indicadas:
8
s
>
< x=
@w @w
ta) w = x2 y ln x ;
;
;
>
@s
@t
:
y = s2 t
8
< x = 3t
dw
x
y
b) w = e sen y + e sen x ;
;
:
dt
y = 2t
8
x = r cos sen
>
>
>
>
<
p
@w @w @w
2
2
2
y = r sen sen
c) w = x + y
z ;
;
;
;
>
@r @
@
>
>
>
:
z =r cos
8
p
x= t
>
>
>
>
x y <
dw
d) w = + ;
y = cos 2t ;
y z >
dt
>
>
>
:
z = e 3t
8
< x = rs2 t3 sen
@z @z @z @z
e) z = cos (x y) ;
;
;
;
;
:
@r @s @t @
2
y = r st cos

0

w

B
.
&
B
B a)
x
y
B
B...