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Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago

GUIA 6 MAT023
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: √ x+x dy = √ 1. dx y+y 2. y = 2x + y 3. y = 4. y + 1 +1 x−y x+y =0 x + 2y

5. (x2 + y 2 )dx − 2xydy = 0 6. ey dx + (xey + 2y)dy = 0 7. (6xy 2 − 3x2 )dx + (6x2 y + 3y 2 − 7)dy = 0 8. 9. dy + 2y = 3ex dx 1 dy 2y − = x cos(x) x dx x2

10. y = (x+ y)2 11. y = (8x + 2y + 1)2 12. (2x − y)dx + (4x − 2y + 3)dy = 0 13. (x2 + y 2 )dx − xydy = 0 14. x(x + y)(dx + dy) = 15. y = x + 2y x y (xdy − ydx) x

16. (x + 2y)dx − xdy = 0 17. 2xydx + (x2 + 4y)dy = 0 18. (1 + y)dx + 19. 20. x2 dy =0 − 3x

dy y−3 = dx x+y+1 dy 3 = x2 (y − 1)3 dx 2

21. Considere la ecuación diferencial a) Encuentre la solución general.

y−x

dy dy = a 1 + x2 dx dx, a > 1.

b) Encuentre la solución particular que verifica y(1) =

a a+1 c) Encuentre el intervalo máximo donde la solución particular anterior está definida.

22. Muestre que la ecuación diferencial 2x4 yy + y 4 = 4x6 se reduce n a una ecuación homogénea mediante el cambio de variable y = z , para cierto n ∈ R. Determine el valor de n y resuelva la ecuación. 23. La ecuación (3x5 +3x2 y 2)dx−(2x3 y−2y 3 )dy = 0 homogénea haciendo el cambio de variables x = up las constantes p y q. Resuelva la ecuación. 24. Muestre que la ecuación y = se reduce a una ecuación y y = v q . Determine

y y + xm y n f se transforma en una ecuación x x de variables separables usando el cambio de variables y = vx, donde v = v(x). Use lo anterior para resolver la ecuación y =
y y sec2 ( x ) + x y2

25.Si la ecuación diferencial (7x4 y − 3y 8 )dx + (2x5 − 9xy 7 )dy = 0 se multiplica por el factor xm y n se transforma en una ecuación exacta, para ciertos valores de m y n. Encuentre estos valores y resuelva la ecuación. 26. En los siguientes, multiplique por el correspondiente factor integrante µ(x, y) para resolver la EDO: a) (y 2 − xy)dx + x2 dy = 0, µ(x, y) = 1 xy 2 µ(x, y) = y+1 x4 x2 1 + y21 xy

b) (x2 y 2 − 1)dx + (1 + x2 y 2 )xdy = 0, c) 3(y + 1)dx − 2xdy = 0, d ) (x2 + y 2 − x)dx − ydy = 0, µ(x, y) =

µ(x, y) =

27. Obtenga la solución de los siguientes problemas de valores iniciales a) xy = x2 + y 2 + y , y(3) = 0 y b) xy − y = , y(1) = e ln(y) − ln(x)

c) y − y = 2e4x , y(0) = −3 5y d) y + = 3x3 + x , y(−1) = 4 9x 2 e) y + y = 3 , y(0) = 5 x+1

28. Determine lospuntos de equilibrio de las siguientes ecuaciones autonomas: a) x = x + 1 d) x = x4 − x3 − 2x2 b) x = x − x3 e) x = sen x c) x = sinh x2 f ) x = sen x − x

y clasifique la naturaleza (atractor, repulsor, atractor-repulsor) de cada punto de equilibrio. Construya el retrato de fase de cada ecuación. 29. Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) x+y dy = dx x−y dy = 3y 2 −t2 dt b) (t − √ ty) dy =y dt

c) 2ty

d) (1 + t − 2y)dt + (4t − 3y − 6)dy = 0 y y f) y = ex + + 1 x , Ayuda: hacer z = x2 + y 2

y y e) y = − sec2 x x g) y = −x + y x2 + y 2

30. Halle la ecuación de la curva que pasa por el punto (0,1), y que satisface la ecuación diferencial: x+y−1 dy = dx 2y − x + 3 31. Pruebe que ninguna solución de y = ex + y tiene máximo relativo.

32. Determinetodos los posibles retratos de fases y los respectivos intervalos para λ en la siguiente ecuación diferencial dependiente del parámetro λ: x = (x − λ)(x2 − λ) , ˆ λ∈R

33. Un depósito contiene 100 galones de salmuera en la que hay disueltas 40 libras de sal. Se desea reducir la concentración de sal hasta 0,1 lb por galón, y ello vertiendo en el depósito agua pura a razón de 5 galones por minuto ypermitiendo que salga la misma cantidad, mientras se mantiene uniforme la mezcla removiéndola. Cuanto tiempo tardará en conseguirse el proposito?. 34. Un conejo parte del origen de coordenadas y corre por el eje Y con una velocidad de A mts/sg. Al mismo tiempo, un perro sale del punto (c, 0) con una velocidad de B mts/sg (suponer B > A). a) ¿Cuál es la trayectoria del perro? b) ¿Qué distancia...
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