Guia Estimacion

´ UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE ESTAD´ ISTICA Y ECONOMETR´ IA

Inferencia Estad´ ıstica

Gu´ 1 ıa

1. Sea X una variable aleatoria con funci´n de densidad dada por: o fX (x) =
2x θ2

0

si 0 < x < θ e.o.c.

ˆ 3¯ Sea θ = 2 X un estimador de θ. Estudie insesgamiento, consistencia y error cuadr´tico medio. a 2. Considere una variable aleatoria X continua confunci´n de densidad dada por: o fX (x) =
2

si 0 < x < θ 0 e.o.c.

1 θ

θ θ Adem´s, I a E(X) = 2 y V ar (X) = 12 . Se toma una muestra aleatoria de tama˜o 3 (X1 , X2 , X3 ) n y se definen los estimadores de θ como:

ˆ θ1 = X1 + X2 ˆ θ2 = X1 + X2 − X3 X1 +X2 +X3 ˆ θ3 =
3

Determine con alg´n criterio el mejor estimador. u ˆ ˆ ˆ 3. Sean θ1 , θ2 y θ3 tres estimadores insesgados de θindependientes. Se sabe que:

ˆ V ar (θ1 ) = σ 2 2 ˆ V ar (θ2 ) = σ ˆ V ar (θ3 ) = ¿Cu´l de los siguientes estimadores prefiere usted? a (a) (b) (c)
ˆ ˆ ˆ 2θ1 +2θ2 +θ3 5 ˆ ˆ ˆ θ1 +θ2 +θ3 . 3 ˆ1 +θ2 +θ3 ˆ ˆ θ . 5 2 σ2 4

.

4. Sea X ∼ N (µ, 25) y los estimadores para µ: µ1 = ˆ X1 + X2 2 µ2 = ˆ X1 + X2 + X3 + X4 +C . 4

Determine C para que µ2 sea preferible a µ1 en t´rminos de su error cuadr´ticomedio. ˆ ˆ e a 1

5. El n´mero de veh´ u ıculos que circula por la intersecci´n de las calles A y B es una variable o aleatoria Poisson con par´metro λ. Para estimar λ a trav´s de una muestra aleatoria de a e tama˜o 5, se sugieren los siguientes estimadores: n ˆ λ1 = ˆ λ2 = ˆ λ3 =
3X1 +2X5 5 2X1 +3X2 5 5 Xi i=1

5

¿Cu´l de los tres estimadores propuestos es mejor? a 6. Sea X1 , X2 , . . . ,Xn una muestra aleatoria de tama˜o n (n > 2), desde una distribuci´n con n o funci´n de densidad dada por: o fX (x) = ˆ ˆ Sean λ1 = X7 y λ2 =
X1 +X6 2
x 1 −λ λe

0

si x > 0, λ > 0 e.o.c.

.

(a) Determine el estimador insesgado de menor varianza. (b) Encuentre el estimador de m´xima verosimilitud de λ y estudie la consistencia del estia mador. 7. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestraaleatoria de tama˜o n desde una poblaci´n con funci´n de n o o densidad dada por: −x 1 x2 e β si x > 0, β > 0 2β 3 fX (x) = 0 e.o.c. Adem´s, I a E(X) = 3β y V ar (X) = 3β 3 . (a) Determine el estimador m´ximo veros´ a ımil de β. (b) Pruebe que el estimador m´ximo veros´ a ımil de β es insesgado y consistente. (c) Si en una muestra aleatoria de tama˜o 20 se obtuvo: n
20 20

xi = 150
i=1 i=1

x2= 13520 i

Determine la estimaci´n de β. o 8. Se define una variable continua con distribuci´n Gamma de par´matros α, β con funci´n de o a o densidad dada por: fX (x) =
xα−1 e β β α (α−1)!
−x

0

si x ≥ 0 (α entero) e.o.c.

(a) Si α es conocido, determine el EMV de β. (b) Se sabe que I E(X) = αβ, V ar (X) = αβ 2 , estudie las propiedades del estimador encontrado en (a).

2

9. Losdep´sitos que diariamente recauda un cajero de un banco pueden ser modelados por la o funci´n de densidad dada por: o fX (x) = αe−αx si x ≥ 0 0 e.o.c.

Si en una muestra de 5 d´ los dep´sitos (en millones de pesos) fueron: ıas o 4.5 5.2 4.3 6.2 5.4

¿Cu´l es la probabilidad que en un d´ el cajero recaude m´s de 5 millones de pesos, si α se a ıa a estima mediante el m´todo de m´ximaverosimilitud? e a 10. Suponga que el tiempo de duraci´n de una lavadora (tiempo hasta que falla) es una variable o aleatoria con funci´n de densidad dada por: o   2xe− x2 β si x ≥ 0 fX (x) = β  0 e.o.c. (a) Determine el EMV de β basado en una muestra aleatoria de tama˜o n. n (b) Cada lavadora es garantizada por un tiempo de 12 meses con un costo de reparaci´n de o $30000. Para una muestra de 5 lavadorasse obtiene que sus tiempos de duraci´n son: o X1 = 10 X2 = 8 X3 = 13 X4 = 15 X5 = 12

Determine una estimaci´n del costo anual por reparaci´n en que incurre la f´brica, si se o o a supone que vende al a˜o 500 lavadoras. n 11. La cantidad de harina que se utiliza mensualmente en una cadena de panader´ se puede ıas considerar una variable aleatoria (en toneladas) con funci´n de densidad dada por:...