Guia MATE V USB de Farith Briceño

Funciones de varias variables

z

y

x

Farith Briceño - 2013

Cálculo en varias variables - Guía 1

Funciones de varias variables
Objetivos a cubrir

Código : MAT-CV.1

• Funciones de varias variables: Dominio.
• Geometría de las funciones de varias variables.

Ejercicios

1. Sea f : R2 −→ R dada por f (x, y) = x2 + y 2 − 3. Hallar
1. f (0, 0)
6.

2. f (−1, k)

f (x+ h, y) − f (x, y)
h

3. 2 − f (3, 1)

4. f (x + h, y)

f (x, y + k) − f (x, y)
k

7.

8.

5. f (x, y + k)

f ((x, y) + t (a, b)) − f (x, y)
t

2. Sea g : R2 −→ R dada por g (x, y) = ln (xy + y − 1). Hallar
1. g (1, 1)
6.

2. g (e, 1)

g (x + h, y) − g (x, y)
h

3. g (x, 1)
7.

6.

2. f (−1, 2)

f (x + h, y) − f (x, y)
h

g (x, y + k) − g (x, y)
k

5. g (x,y + k)

8.

g ((x, y) + t (a, b)) − g (x, y)
t

3xy
. Hallar
x2 + 2y 2

3. Sea f : R2 −→ R dada por f (x, y) =
1. f (1, 1)

4. g (x + h, y)

3. 2f (t, 1)
7.

4. f (x + h, y)

f (x, y + k) − f (x, y)
k

8.

5. f (x, y + k)
f ((x, y) + t (a, b)) − f (x, y)
t

4. Sea f : R2 −→ R dada por f (x, y) = x2 + y 2 + 4xy − 7x + 10. Hallar
1.

f (2, 1)

2. f (−3, 5)

6.d
(f (x, x))
dx

10.

f (x + h, y) − f (x, y)
h

7.

3. f (x + h, y)

d
(f (1, y))
dy
11.

5. Sea f : R2 −→ R dada por f (x, y) =
1.

f (1, 0)

2. f (1, 2k)

6.

d
(f (x, x))
dx

10.

f (x + h, y) − f (x, y)
h

7.

4. f (x, y + k)

d
f −1, x2
dx

8.

f (x, y + k) − f (x, y)
k

9.

7.

3. 2f (2, 2)

d
(f (−y, y))
dy

Última actualizacón:Enero 2013

12.

11.

4. f (x + h, y)
8.

9.

d
f x, x2
dx

(0)

f ((x, y) + t (a, b)) − f (x, y)
t

10.

5. f (x, y + k)

d
(f (−1, x)) (e)
dx

f (x, y + k) − f (x, y)
k

f (x + h, y, z) − f (x, y, z)
h

f (x, y, z + w) − f (x, y, z)
w

(2)

√
xy + ln (x). Hallar

3
6. Sea f : R3 −→ R dada por f (x, y, z) = x2 − 2y 2 + . Hallar
z
√
3
3.
f (−1, 3, 1)1. f (0, 0, 3)
2. f −1, k, − 3
2
6. f (x, y, z + w)

5. f (x, x)

8.

12.

9.

d
(f (x, −1)) (1)
dx

f ((x, y) + t (a, b)) − f (x, y)
t

4. f (x + h, y, z)

5. f (x, y + k, z)

f (x, y + k, z) − f (x, y, z)
k

f ((x, y, z) + t (a, b, c)) − f (x, y, z)
t
Farith J. Briceño N.

farith.math@gmail.com

2

7. Sea f : R3 −→ R dada por f (x, y, z) = x2 ye2z + (x − y +3z) . Hallar
1.

f (0, 0, 0)

2. f ((−1, −1, 0)

6.

d
(f (x, x, x))
dx

13.

d
(f (1, y, 1))
dy

7.

10. f (x, y, z + w)

3
f (−1, 3, 1)
2

3.

11.

4. f (x + h, y, z)

d
f 1, −1, z 2
dz

8.

f (x + h, y, z) − f (x, y, z)
h

f (x, y, z + w) − f (x, y, z)
w

12.

9.

5. f (x, y + k, z)

d
f x, x2 , −1
dx

(0)

f (x, y + k, z) − f (x, y, z)k

f ((x, y, z) + t (a, b, c)) − f (x, y, z)
t

14.

8. Sea G : R3 −→ R dada por G (x, y, z) = x sen y cos z. Hallar
π π
,
6 3

1.

G 2,

6.

π
2. G 4, , 0
4

d
(G (t, t, t))
dt

10. G (x, y, z + w)
13.

7.
11.

3. G (t, t, t)

d
(G (1, y, 1))
dy

8.

4. G (u, v, 0)

π
d
G 1, − , z 2
dz
2

G (x + h, y, z) − G (x, y, z)
h

G (x, y, z + w) − G (x,y, z)
w

5. G (x, −x + y, x)

12.

9.

d
G x, x2 , −π
dx

(π)

G (x, y + k, z) − G (x, y, z)
k

G ((x, y, z) + t (a, b, c)) − G (x, y, z)
t

14.

9. La función f : R2 −→ R es tal que f (x + y, x − y) = x2 + y 2 . Determine f (2, 5), f (x, 3), f (5, y),
f (x, y). ¿A dónde manda f los puntos de la recta y = x?. ¿A dónde manda f los puntos de la recta
y = −x?.

y
= y 2 −x2 . Determine f (x, y). ¿Cuál es el dominio
10. La función f : U ⊂ R2 −→ R, es tal que f x − y,
x
U de esta función?
11. Considere la función f : R2 −→ R, dada por f (x, y) = sgn
está dada por

si
 1


0
si
sgn (α) =



−1
si

x − y 2 , donde la función sgn (función signo)
α>0
α=0
α 0;

b. f (x, y) = 0;

c. f (x, y) < 0;

12. Considere la función f : R2 −→ R,...