Guia Nro 3 Derivadas

Profesor Leonard Rangel

Hoja de ejercicios Nº 3

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
El instrumento matemático básico para medir la razón de cambio de una función
es su derivada. Una derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicho
punto de una función. La recta tangente es aquella que toca a la función en un solo punto
del entorno.
Por ejemplo, en la siguiente grafica la recta g(x)=3x-2 estangente a la función
cúbica f(x)=x³ en el punto (1,1).
La derivada de una función en
un punto representa la razón de
cambio

instantánea

de

esa

función para ese valor de la
variable independiente.
En problemas demográficos
y económicos, en lugar de llamarla
derivada se utiliza el término tasa
o valor marginal. En problemas de
física, química, biología, etc., se
suele hablar de velocidad y derapidez.

Mientras

que

la

expresión razón de cambio es
utilizada en todas las disciplinas.
Para familiarizarnos con ello es necesario el recordar su relación con el concepto
de límite y del algoritmo de “derivada por definición”.
Supongamos que el malvado profesor de matemáticas nos da la función f(x)=x³
y nos piden calcular la ecuación de la recta tangente en el punto (1,1). En primer lugar,para calcular la ecuación de la recta necesitamos su pendiente. Como hemos explicado, la
pendiente de la recta tangente a un punto de una función se le llama derivada, por tanto
hemos de derivar la función.
¿Cómo derivar dicha función? Lo más sencillo es aplicar la regla de la derivada de
una potencia, pero puesto que no tenemos por qué saber aplicar esta regla, lo haremos
mediante la definición dederivada.

f '( x) = lim
h →0

f (h + x) − f ( x )
h

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Ahora puesto que nuestra función es f(x)=x³ aumentaremos a x en h obteniendo

f(x+h)=(x+h)³ para luego sustituir en la definición antes planteada:

( x + h)3 − x 3
f '( x) = lim
h →0
h

Operando el producto notable de la función a la cual se le está sacando el límite

x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 +h 3 − x 3
q( x) =
h
Simplificamos:

x/ 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h3 − x/ 3
q ( x) =
h
Sacamos de factor común en el numerador a h

h(3 x 2 + 3 xh + h 2 )
q ( x) =
h
Ahora simplificamos la h, puesto que es un factor tanto en el numerador como en
el denominador:

h (3 x 2 + 3 xh + h 2 )
q ( x) =
h
Finalmente eliminamos la h del denominador, luego volvemos a q(x) a la expresión
original y al evaluartenemos

f '( x ) = lim q ( x ) = 3 x 2
h→0

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Hoja de ejercicios Nº 3

Con este método podemos calcular cualquier derivada, pero puesto que es un
método largo para los más flojos, hay una regla para cada tipo de derivada, las cuales
están demostradas a partir de la definición de límite y las que iremos trabajando a lo
largo del curso.
Bien, como recodarán piden la pendientede la recta tangente en el punto (1,1),
vemos que f’(1)=3 . Esto quiere decir que la pendiente de nuestra recta es m=3. Ahora
sólo nos falta un cálculo (sencillo para aquellos que les gusta aprender). ¿Cómo hallar la
ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto por donde pasa?
La forma más sencilla es utilizar la ecuación de la recta punto pendiente
aprendida en noveno grado de educaciónbásica:

y − y1 = m( x − x1 )
Siendo (1,1) un punto por donde pasa la recta (en nuestro caso, el punto de
tangencia). Sustituyendo los valores que tenemos en la ecuación de la recta tenemos

y − 1 = 3( x − 1)
y − 1 = 3x − 3
y = 3x − 3 + 1
y = 3x − 2

Y ya hemos calculado la ecuación de la recta tangente a la función f(x)=x³ en el
punto (1,1) .Si aún dudas de este resultado puedes chequear en laimagen que encabeza
este escrito.
Para cada tipo de función, existe una regla para derivarla. Esto hace muy cómodo
el proceso de derivar, ya que en lugar de tener que aplicar la definición podemos
resolverlas aplicando la regla adecuada a cada una. Por supuesto, estas reglas se
demuestran a partir de la definición y progresivamente iremos aprendiéndolas en clase.

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