GUIA Variable Aleatoria Discreta

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Guía Matemática
Variable aleatoria discreta
˜ Caro
tutor: Ismael Saldana

.cl

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1.

Variable aleatoria

Sobre una mesa se han colocado todas las fichas de un domin´o (mostradas en la figura 1). Se extrae
una al azar y se calcula el valor absoluto de la diferencia de sus puntuaciones. Se desea determinar la
probabilidad de que dicha diferencia sea igual a 4.Figura 1. Fichas de un juego de
dominó.

El experimento consiste en extraer una ficha de un domin´o y calcular el valor absoluto de la diferencia de sus puntuaciones. Dicho experimento tiene como espacio muestral (Ω) cada una de las 28 fichas
que componen el domin´
o.
La figura 2 muestra el valor absoluto de la diferencia de las puntuaciones para cada una de las fichas.
Puesto que estamos interesadosen que dicha diferencia sea 4, a partir de la figura 2 se establece que los
casos favorables son 3. Por otro lado, los casos totales (o posibles) son 28, correspondientes a la diferencia
de cada una de las 28 fichas del domin´
o. Luego, por la regla de Laplace, la probabilidad buscada es:
P(E) =

3
casos favorables a E
=
casos totales
28

Donde E corresponde al evento (o suceso) definido tal queel valor absoluto de la diferencia de las
puntuaciones de las fichas del domin´
o es igual a 4.

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Valor absoluto de la diferencia de
sus puntuaciones ( )

0
1
2
3
4
5
6
Figura 2. Valor absoluto de la diferencia de las puntuaciones
para cada una de las fichas del dominó.

En particular, el c´
alculo anterior sirve cuando la diferencia de las puntuaciones de las fichas del
domin´oes igual a 4. No obstante, si quisi´eramos conocer la probabilidad para cuando dicha diferencia es
igual a 0, 1, . . . , 6, se deben definir los siguientes sucesos:
A: El valor absoluto de la diferencia de las puntuaciones de las fichas del domin´o es 0
B: El valor absoluto de la diferencia de las puntuaciones de las fichas del domin´o es 1
C: El valor absoluto de la diferencia de las puntuacionesde las fichas del domin´o es 2
D: El valor absoluto de la diferencia de las puntuaciones de las fichas del domin´o es 3
E: El valor absoluto de la diferencia de las puntuaciones de las fichas del domin´o es 4
F: El valor absoluto de la diferencia de las puntuaciones de las fichas del domin´o es 5
G: El valor absoluto de la diferencia de las puntuaciones de las fichas del domin´o es 6
El problemaradica en que se debe definir un suceso para cada resultado posible del experimento y
los c´alculos se vuelven innecesariamente extensos. Buscamos entonces una forma compacta de representar
los c´alculos previos, que adem´
as nos permita operar y visualizar el problema de forma sencilla y eficiente.
El primer paso es crear un “suceso variable”, de tal forma que los 7 sucesos definidosanteriormente (A,
B, . . . , G) queden contenidos en ´el. A dicho suceso le llamaremos variable aleatoria (v.a.), la cual
representaremos preferentemente por X, Y, Z o de cualquier otra forma conveniente.

3

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En el ejemplo de las fichas de domin´
o, la variable aleatoria X queda definida por “el valor absoluto de
la diferencia de sus puntuaciones”, esto es:
X: El valor absoluto de ladiferencia de las puntuaciones de las fichas del domin´o.
Advierta que la definici´
on de X efectivamente contempla todos los eventos definidos previamente. En
este sentido, los valores que puede tomar X son 0, 1, 2, . . . , 6.
Entonces, lo que hace una variable aleatoria es relacionar los elementos del espacio muestral (cada una
de fichas del domin´
o) con un n´
umero real (la diferencia de suspuntuaciones), tal como muestra la figura 2.
Por otra parte, una funci´
on (f ) es una relaci´on entre elementos de un conjunto de origen (dominio) y
elementos de un conjunto de llegada (codominio o recorrido), de forma que a cada elemento del dominio
le corresponde un u
´nico elemento del recorrido.
Luego, la variable aleatoria es una funci´
on (en este caso X) cuyo dominio son los elementos del...