GuiaModular CDIFERENCIAL PB

Guías Modulares de Estudio
Cálculo diferencial – Parte B

Semana 1 y 2:
Las razones de cambio y la
derivada

Las razones de cambio y la derivada
 Objetivo:
Resolver problemas sobre razones de cambio y la derivada,
aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación
gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico
administrativas y sociales; contribuyendo a generar unambiente
escolar colaborativo y responsable.

Las razones de cambio y la derivada





Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus
definiciones surgen a raíz del concepto de limite.
 

Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los
comunes son los siguientes:

Las razones de cambio y la derivada
Definiciones de Derivada:
Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el
punto (x , f(x) ) es la derivada de f en x.



Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el
punto P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en
x.



Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La
velocidaden el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por
f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es
el módulo de esa cantidad.



Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de
una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la
derivada de f en x.

Lasrazones de cambio y la derivada


Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de
recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la
gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación:



A medida que los intervalos de posición en x son mas pequeños como el esquema que
se muestra a continuación, la línearecta tiende a ser mas semejante a una línea
tangente que a una línea recta secante:

Las razones de cambio y la derivada

Analizando esta línea tangente podemos ver que el
triángulo rectángulo que se forma puede
conducirnos a analizar cual es la ecuación de la
pendiente de la línea recta tangente. Nótese la
hipotenusa dentro del triangulo rectángulo
corresponde a la línea recta. 

Las razones decambio y la derivada


Como podemos apreciar la ecuación que relaciona la línea recta esta dada por la
tangente:



pero como sabemos para la línea recta dicha relación nos da la pendiente de una
línea recta



Como hemos dicho esta relación, de recta tangente se logra solo que los intervalos:




sean pequeños lo que equivale a decir que se genera el limite cuando
o lo que equivale a decirque se genera el limite:

Las razones de cambio y la derivada
Tablas de derivadas elementales

Tablas de derivadas elementales

Las razones de cambio y la derivada
Derivadas de funciones trigonométricas

Las razones de cambio y la derivada
Ejercicios resueltos
1. Encuentra la derivada de la siguiente función:


Solución:
Como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de lostérminos
de las funciones, es decir si
entonces
por lo que para la función planteada en el ejercicio:



Recordando que la derivada de una función potencia
que en la derivada de una constante es cero tendremos



Es decir, 

es

y

Las razones de cambio y la derivada
Ejercicios resueltos
2. Encontrar la derivada de la función:


Solución:

Derivando cada término

Por lo que:

Las razones decambio y la derivada
Ejercicios resueltos
3. Encuentra la derivada de la siguiente función:


Solución:

Por lo tanto,

Las razones de cambio y la derivada
Ejercicios resueltos
4. Encuentra la derivada de la siguiente función:


Solución:

5. Encuentra la derivada de la siguiente función:


Solución:
aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:

Las razones de...