Guias de onda

La onda electromagnética plana

Por definición, una onda TEM es aquella cuyos campos E H son perpendiculares entre sí, y ambos a la vez son perpendiculares a la dirección de propagación , misma que se designará como la dirección a lo largo del eje z. y además de lo anterior, la magnitud y la fase de cada campo son iguales en todos los puntos de un plano cualquiera, para el cual z esconstante, entonces la onda es plana. Es decir, en un plano z = constante perpendicular a la dirección en que día a la onda, los campos E y H son independientes de las coordenadas x y y.


Figura . Una onda plana tiene sus campo con la misma magnitud y fase en todos los puntos de un plano z= constante que es perpendicular a la dirección de propagación. | E | en V/m y en| H| en A/m.

Enplanos paralelos, valores de z diferentes, los campos aumentarán o disminuirán de valor, de acuerdo con la periodicidad de la onda, pero seguirán siendo iguales en todos los puntos de cada nuevo plano en cuestión. Ambos campos, E y H, están en fase, pues alcanza sus valores máximos al mismo tiempo.


Figura .Variación senoidal de los campos E y H con relación a la dirección z

La ondaplana en un medio sin pérdidas

Para encontrar la expresión matemática de una onda plana, es necesario resolver las ecuaciones de Maxwell.

∇×E(r,t)=-∂/∂_t B(r,t) (Ec 1.)
∇×H(r,t)=J(r,t)+∂/∂_t D(r,t) (Ec 2.)
∇ B(r,t)=0(Ec 3.)
∇ D(r,t)=ρ(r,t) (Ec 4.)
Con J= Jfuente +Jconduccion (Ec 5.)
Considérese ahora que el medio de propagación y el “espaciolibre”, con conductividad igual a cero y sin de radiación presentes (cargas y corrientes) las fuentes (ρ Y Jfuente) si existen, pero está en algún lugar lejano del espacio en el que ahora había a la onda y donde quiere encontrarse su solución matemática. Por tanto, Jfuente vale cero (Ec 5.), y ρ, la densidad de carga, también vale cero en la (Ec 4.). Además, como la conductividad σ Delespacio libre se considera igual a cero, y dado que Jconduccion = σE, el producto da cero, y entonces toda la densidad de corriente J de la (Ec 5.) es igual a cero.
Por consiguiente, las cuatro ecuaciones de Maxwell, para encontrar la solución de propagación en el espacio libre, se reducen a:
∇×E(r,t)=-∂/∂_t B(r,t) (Ec 6.)
∇×H(r,t)=∂/∂_t D(r,t) (Ecu 7.)
∇ D(r,t)=0 (Ecu8.)
∇ B(r,t)=0(Ecu 9.)
Antes de intentar resolver estas ecuaciones, conviene introducir la herramienta auxiliar de los factores para los campos para los voltajes y corrientes. Para esto, se supone que los campos eléctricos y magnéticos tienen una dependencia senoidal con relación al tiempo, a una frecuencia angular ω=2πf, es decir:

E(r)=E_0 (r)e^(jθ(r)) (Ecu 10.)
H(r)=H_0(r)e^(jθ(r)) (Ecu 11.)

entonces, (Ec 6.) y (Ecu 7.) Se pueden reescribir como:

E ̃(r,t)=Re[E(r)e^jωt ] (Ecu 12.)
H ̃(r,t)=Re[H(r)e^jωt ] (Ecu 13.)

Al sustituir las ecuaciones (Ecu 13.) y (Ecu 12.) en (Ecu 7.) y (Ec 6.), con B=μH y D=εE, y dado que derivar parcialmente con relación al tiempo se vuelve equivalente a multiplicar por jω, se obtienen las ecuaciones fasoriales siguiente:∇×E=-jωμH (Ecu 14.)
∇×H=-jωμE (Ecu 15.)
Estas ecuaciones se pueden resolver fácilmente, lo cual justifica el uso de los fasores. Habiendo obtenido las soluciones E y H, se utilizan las (Ecu 13.) y (Ecu 12.) Para representar la solución completa real o instantánea, que es tanto dependiente de la posición r como del tiempo t. Como es fácil de ver, este artificio matemático permite resolver unsistema ecuaciones de tres variables (x, y, z) en lugar de tener que hacerlo con cuatro variables (x, y, z, t).
En términos generales, E tiene componentes Ex , Ey, Ez , y H tiene componentes Hx , Hy, Hz. Para el caso de la onda plana en cuestión:
∂E/∂x=0 , ∂E/∂y=0 , Ez = 0 (Ecu 16.)
∂H/∂x=0 , ∂H/∂y=0 , Hz = 0 (Ecu 17.)

Ya que los campos no depende ni de x ni y...