H15 masa resorte

Dpto. Matem´atica Aplicada. E.T.S.A.M.

C´alculo.

E.Pati˜
no, P. Gal´an.

´
CALCULO.
Hoja 15.
Sistemas masa-resorte
Consideremos un resorte de longitud l suspendido verticalmente de un soporte r´ıgido. Si
colgamos de ´el una masa m, el resorte se alargar´a una cantidad, llamada elongaci´
on,
que denotamos por ∆l (v´ease Figura 1).

Figure 1: Sistema masa-resorte.
Movimiento arm´
onico simple olibre no amortiguado
mx (t) + kx(t) = 0.

(1)

Ejemplo 1.
Si situamos una masa de 5 kg en un resorte, ´este se alarga 10 cm.
Liberamos la masa 8 cm por debajo de la posici´on de equilibrio. ¿Cu´al es la ecuaci´on del
movimiento suponiendo un movimiento arm´onico simple? (T´omese el valor aproximado
de g = 10 m/s2 ).
Soluci´on: x(t) = 8 cos(10t).

Figure 2: Movimiento libre no amortiguado.Movimiento libre amortiguado
mx (t) + cx (t) + kx(t) = 0.

(2)

La ecuaci´on caracter´ıstica se escribe como
mλ2 + cλ + k = 0
cuyas ra´ıces son
−c ±

√

c2 − 4km
.
2m
Dependiendo del signo de c2 − 4km distinguiremos tres casos:
λ=

(3)

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(a) Sistema sobreamortiguado. Si c2 −4km > 0, tendremos dos ra´ıces reales distintas,
√
√
−c +c2 − 4km
−c − c2 − 4km
λ1 =
y
λ2 =
.
2m
2m
La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (2) viene dada por
x(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t .

(4)

Ejemplo 2. Supongamos que una masa de 1 kg alarga 5 m un resorte. Determinar la
ecuaci´on del movimiento libre amortiguado si la masa se libera dos metros por debajo de
la posici´on de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 m/s suponiendo que la fuerzaamortiguadora es 3 veces la velocidad instant´anea.
Soluci´on; x(t) = e−t + e−2t .

Figure 3: Sistema sobreamortiguado.
(b) Sistema subamortiguado Si c2 − 4km < 0, tendremos como soluciones de la
ecuaci´on caracter´ıstica (3) dos ra´ıces complejas conjugadas,
√
√
−c + i 4km − c2
−c − i 4km − c2
λ1 =
y
λ2 =
.
2m
2m
La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (2) viene dada ahora por
√
√
2
4km
−
c
4km −c2
c
c
x(t) = c1 e− 2m t cos
t + c2 e− 2m t sen
t
2m
2m
√
= e

c
− 2m
t

c1 cos

4km − c2
t + c2 sen
2m

√

4km − c2
t
2m

.

Ejemplo 3. Determinar la ecuaci´on del movimiento de un sistema masa-resorte para el
caso m = 1 kg, c = 2 N s/m y k = 10 N/m suponiendo que la masa se libera desde la
posici´on de equilibrio con una velocidad descendente de 3 m/s.
Soluci´on: x(t) = e−t sen(3t).

Figure 4:Sistema subamortiguado.

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(c) Sistema cr´ıticamente amortiguado. Si c2 − 4km = 0, tendremos como soluci´on
c
de la ecuaci´on caracter´ıstica (3) una ra´ız real doble, λ = −
. En este caso, la soluci´on
2m
de (2) viene dada por
x(t) = c1 eλt + c2 teλt = eλt (c1 + c2 t) .

(5)

Ejemplo 4. Una masa de 2 kg se sujeta a un resortecuya constante es k = 2 N/m.
Supongamos que sobre el sistema est´a actuando una fuerza amortiguadora que es igual
a 4 veces la velocidad instant´anea. Determinar la ecuaci´on del movimiento si la masa se
libera 1 m por debajo de la posici´on de equilibrio con una velocidad descendente de 1
m/s.
Soluci´on: x(t) = e−2t (1 + 2t).

Figure 5: Sistema cr´ıticamente amortiguado.
Ejemplo 5. Consideremosel mismo sistema masa-resorte del ejemplo anterior con las
condiciones iniciales dadas por x(0) = 1 y x (0) = −3.
Soluci´on: x(t) = e−t (1 − 2t).

Figure 6: Sistema cr´ıticamente amortiguado.
Movimiento forzado amortiguado
mx (t) + cx (t) + kx(t) = F (t).

(6)

Ejemplo 6. A un sistema masa-resorte amortiguado cuyos par´ametros son m = 1 kg,
c = 4 N s/m y k = 3 N/m se le aplica una fuerza externadada por F (t) = 5 cos t.
Determinar la ecuaci´on que describe el movimiento del sistema suponiendo que x(0) = 0
y x (0) = 0.
3
1
5
Soluci´on: x(t) = − e−t + e−3t + cos t + sen t.
4
4
2
Movimiento forzado no amortiguado
mx (t) + kx(t) = F (t).

(7)

Ejemplo 7. Al sujetar una masa de 2 kilogramos a un resorte cuya constante es
k = 32 N/m, ´este queda en reposo en la posici´on de equilibrio. A...