hermite

Método de Hermite
En determinadas aplicaciones se necesitan el uso de métodos de interpolación que trabajen con datos prescritos de la función y sus derivadas en una serie de puntos, con el objetode aumentar la aproximación en las proximidades de dichos puntos. Dentro de esta clase de métodos se encuentra la interpolación de Hermite.

1.1 Polinomios de Hermite
Supongamos que y que x0,x1,…xnson puntos distintos del intervalo [a,b]. Conocidos los valores f y f’ en x0…xn, se trata de encontrar un polinomio de grado el menor posible que coincida con f y con su derivada en los puntosseñalados.
Se demuestra que dicho polinomio existe y es único y que tiene grado de 2n+1.
A dicho polinomio se le conoce como polinomio de Hermite.

Donde

y

Aquí, L’n,j(x)denota el j-ésimocoeficiente polinomial de grado n de Lagrange.

La fórmula de error del polinomio de Hermite es parecida a la del polinomio de la Lagrange, con las modificaciones necesarias para acomodar el incrementodel número de datos que se usan en el polinomio d Hermite.
Esta expresión se puede escribir en términos de la derivada de orden 2n+2
Si , entonces

Para algún punto (desconocido) 𝞷(x) delintervalo (a,b)..
Aunque la fórmula de Hermite proporciona una descripción completa de los polinomios de Hermite, la necesidad de determinar y evaluar los polinomios de Lagrange y sus derivadas hace que elprocedimiento sea tedioso incluso para valores bajos de n. Existe un método alternativo para generar las aproximaciones de Hermite que se basa en la conexión entre la diferencia dividida n-ésima y laderivada n-ésima de f
Apartir de la formula anterior también se puede obtener una cota del error de interpolación de hermite

Siendo

1.2 Polinomio de Hermite mediante Diferencias Divididas
Siy x0,x1,… xnson puntos distintos del intervalo [a,b], entonces
,
Donde y para cada k=0,1,…,n.
En la siguiente tabla se muestra cómo se colocan las entradas en las tres primeras columnas de...