Polinomios De Hermite

Cap´ ıtulo 12 Polinomios de Hermite
12.1 Definici´n o
Hn (t) = (−1)n et
2

Definimos los polinomios de Hermite por: dn −t2 e . dtn (12.1)

{Hn (t)}n∈N∗ son polinomios de grado n. Se tiene que: Hn (−t) = (−1)n Hn (t) , es decir, Hn es par si n es par, e impar si n es impar. Los primeros polinomios de Hermite son: H0 (t) = 1 H1 (t) = 2t H2 (t) = 4t2 − 2 H3 (t) = 8t3 − 12t H4 (t) = 16t4 − 48t2+ 12 (12.2)

12.2

Funci´n generatriz o
ψ(t, x) = et e−(t−x) = e2tx−x .
2 2 2

Consideremos la funci´n o (12.3)

Su desarrollo en serie de Taylor ser´: a
∞

ψ(t, x) =
n=0

An (t) n x , n!

An (t) =

∂ nψ ∂xn

.
x=0

Como ∂ ∂ = (−1) , ∂x ∂(t − x)

118 se tiene ∂n 2 An (t) = e e(t−x) n ∂(t − x)
t2

CAP´ ITULO 12. POLINOMIOS DE HERMITE

(−1) =
x=0

n

n −t2 n t2d e (−1) e dtn

= Hn (t) ,

luego
∞

e
2

2tx−x2

=
n=0

Hn (t) n x . n!

(12.4)

Se dice que e2tx−x es la funci´n generatriz de los polinomios de Hermite, vale decir, es o aquella funci´n de dos variables tal que su desarrollo de Taylor en una de las variables tiene o como coeficientes precisamente los polinomios de Hermite. A partir de (12.4) se pueden encontrar relacionesentre los polinomios de Hermite. La estrategia para hallarlas (para ´sta o cualquier otra funci´n generatriz de otros polinomios) e o es t´ ıpica: derivar parcialmente respecto a alguna de las variables y luego comparar potencias de x en los desarrollos en Taylor resultantes. 1) Derivando respecto a t: ∂ψ = 2xψ . ∂t Usando (12.4):
∞

n=0

1 d Hn (t) xn = n! dt

∞

n=0

Hn (t) n+1 2x . n!Reordenando la suma en el lado izquierdo:
∞

n=0

Hm+1 (t) m+1 2Hn (t) n+1 x = H0 (t) + x . n! (m + 1)! m=0

∞

Comparando los coeficientes de las potencias de x en cada serie encontramos: H0 (t) = 0 , 1 2Hn (t) = H (t) , n + 1 n+1 lo cual puede ser reescrito en la forma 2nHn−1 (t) = Hn (t) , n≥0. (12.5)

Observemos que, si bien s´lo tiene sentido considerar polinomios de Hermite con ´o ındice positivo, la expresi´n (12.5) puede ser extendida a n = 0, aunque ello haga aparecer un o factor H−1 . En general, las relaciones de recurrencia que obtendremos pueden considerarse v´lidas para cualquier ´ a ındice entero, adoptando la convenci´n de que los polinomios con o sub´ ındices negativos tienen alg´n valor adecuado, por ejemplo, cero. u

´ 12.2. FUNCION GENERATRIZ

119

Larelaci´n (12.5) expresa un polinomio de Hermite en t´rminos de un operador (en o e este caso la derivada) aplicado sobre el polinomio de Hermite inmediatamente superior. Un operador que tiene tal propiedad se denomina operador de bajada. En este caso, el operador de bajada de los polinomios de Hermite es (2n)−1 dt . 2) Derivando respecto a x: ∂ψ = (2t − 2x)ψ . ∂x Con (12.4):
∞

n=1 ∞

Hn (t)n−1 Hn (t) n Hn (t) n+1 x = 2t x −2 x (n − 1)! n! n! n=0 n=0 Hn+1 (t) n x = n!
∞

∞

∞

n=0

n=0

2tHn (t) n 2Hn−1 (t) n x − x n! (n − 1)! n=1

∞

Comparando potencias de x: H1 (t) = 2tH0 (t) , Hn+1 (t) = 2tHn (t) − 2nHn−1 (t) , O bien Hn+1 (t) = 2tHn (t) − 2nHn−1 (t) , n≥0. (12.6)

n≥1.

3) Podemos utilizar las dos relaciones de recurrencia (12.5) y (12.6) para obtener unatercera: Hn+1 (t) = 2tHn (t) − Hn (t) . (12.7)

Hemos pues encontrado el operador de subida para los polinomios de Hermite, a saber, 2t − dt . Derivando (12.7): Hn+1 = 2Hn + 2tHn − Hn . Con (12.5), 2(n + 1)Hn = 2Hn + 2tHn − Hn , o sea, Hn − 2tHn + 2nHn = 0 . Es decir, los polinomios Hn son una soluci´n de la ecuaci´n de Hermite: o o y (t) − 2ty (t) + 2ny(t) = 0 . (12.8)

120

CAP´ ITULO 12.POLINOMIOS DE HERMITE

12.3

Ortogonalidad
∞

Evaluemos I=
−∞

Hm (t)Hn (t)e−t dt .

2

Sin p´rdida de generalidad, sea n ≥ m. Podemos escribir e I = (−1)n Integrando por partes: I = (−1)n+1 2m Integrando por partes n veces: I = (−1)m (−1)n 2n m! Si m < n, entonces I = (−1) Si n = m, I = 2 m!
−∞ n ∞ n+m n ∞ −∞ ∞ ∞ ∞

Hm (t)
−∞

dn e−t . dtn

2

Hm−1 (t)
−∞

dn−1 −t2 e dt...