Polinomios de Hermite

Presentado por:
Carmen Edith Domínguez Flores

• Ecuación de Hermite:

Proponemos la solución:
∞

y = ∑ ar x

s+r

r=0

∞

y’ = ∑ (s+r) ar x

s+r-1

r=0

∞

y’’ = ∑ (s+r)(s+r-1) ar x
r=0

s+r-2

Sustituyendo la solución propuesta en la ecuación:
∞
∞
s+r-1
s+r-2
+2n
r
r

∞

∑ ar x =0
r=0

∑ (s+r)(s+r-1) a x -2x ∑ (s+r)a x
r=0

r=0

∞

∞

s+r∞

∑ (s+r)(s+r-1) ar x -2 ∑ (s+r)ar x +2n ∑ ar x =0
s+r-2

s+r

r=0

r=0

s+r

r=0

Extrayendo los primeros dos términos a la primer serie:
∞

s(s-1)aox +(s+1)sa1x +∑(s+r)(s+r-1)arx
s-2

S-1

s+r-2

r=2

∞

s+r

∞

s+r

-2∑(s+r)arx +2n∑arx =0
r=0
r=0

Hacemos el cambio r = r+2 en la primer serie:

s(s-1)aox +(s+1)sa1x +∑(s+r+2)(s+r+1)ar+2x -2∑(s+r)arx+2n∑arx =0
s-2

S-1

∞

s+r

r=0

∞

r=0

Agrupando en una sola serie:
∞ s+r

s(s-1)aox +(s+1)sa1x + ∑x
s-2

S-1

r=0

De estas relaciones
obtenemos que s=0

s+r

∞

s+r

r=0

*(s+r+2)(s+r+1)ar -2(s+r)ar +2nar]=0
+2

Ahora sustituiremos s=0 en la relación:

(s+r+2)(s+r+1)ar+2 -2(s+r)ar +2nar =0
Entonces tendremos:

(r+2)(r+1)ar+2 -2rar +2nar =0(r+2)(r+1)ar+2 +2ar(-r+n) =0
(r+2)(r+1)ar+2 = - 2ar(-r+n)
(r+2)(r+1)ar+2 = 2ar(r-n)

ar+2 /ar = 2(r-n)/(r+2)(r+1)

Relación de
recurrencia para
los coeficientes

ar+2 /ar = 2(r-n)/(r+2)(r+1)
De esta relación se desprenden las siguientes consecuencias:

 Hay dos series independientes, la de coeficiente con índice par, que depende

solo de a0, y la de coeficientes con índice impar, que dependesolo de a1. Por lo
tanto hay 2 coeficientes arbitrarios a0 y a1, y por ende dos soluciones
linealmente independientes.

 La ecuación tiene por solución un polinomio solo si n es entero positivo. Si en
es par hay que tomar a0≠0 y a1=0. Si n es impar hay que tomar a0=0 y a1≠0.
Cuando r=n, de ahí en delante todos los coeficientes serán cero, entonces
desarrollaremos la serie de atrás haciadelante.

ar = - (r+2)(r+1) ar+2
2(n-r)

ar = - (r+2)(r+1) ar+2
2(n-r)

Para r =n-2:

an-2 =- (n)(n-1) an
2(2)

- (n-2)(n-3) - (n)(n-1) an = n(n-1)(n-2)(n-3) an
an-4 =- (n-2)(n-3) an-2 =
2(4)22
Para r =n-4:

2(4)

2(2)

2(4)

Para r =n-2r:

r
an-2r = - (n-2r+2)(n-2r+1) an-2r+2 =(-1) n(n-1)(n-2)…(n-2r+2)(n-2r+1) an

22 2(4)… (2r)

2(2r)

∞

y = ∑ ar x

r

r=0y = an x + an-2 x + an-4 xn-4 +…+ an-2r x +…
n

n-2

n-2r

n
n-2
y = an x (n)(n-1) an x + n(n-1)(n-2)(n-3)an xn-4 +…+
2(2)
2(4) 22

(-1) n(n-1)(n-2)…(n-2r+1) an xn-2r +…
2
r

2 2(4)… (2r)

y = an ∑ (-1) n(n-1)(n-2)…(n-2r+1) xn-2r
2 2(4)…(2r)
[(1/2)n]

r

2

r=0

Donde:
(½)n Si n es par
[(1/2)n]

=

[(½)(n-1)] Si n es impar

y = an ∑ (-1)
[(1/2)n]

r=0r

n-2r

2

n!
(x)
2r
2 r! (n-2r)!

[(1/2)n]

Hn(x) =

r

n!
∑ (-1) r!(n-2r)!(2x)

r=0

an

n

n-2r

 Lo cual significa que el radio de convergencia de la serie es infinito. Vale decir,
las soluciones no tienen singularidades en el plano.

Si β E N, y si la solución es par o impar, entonces (ν - β)/[(ν+1) (ν+2)] > 0 desde

cierto ν0 en adelante, de modo que losa ν tienen todos el mismo signo para ν >ν0.
Esto es, la serie tiene un crecimiento rápido cuando t →∞.
 Los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema
de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal,
con cierta función de peso.

Es aquella función de dos variables, tal que su desarrollo de Taylor en una de
las variables tienecomo coeficientes a los polinomios de Hermite.

Consideremos la función:
2
t2 -(t-x)

Ψ(t,x) = e e

2tx-x2

=e

Su desarrollo en Serie de Taylor será:
∞

n

n

Ψ(t,x) = ∑ An(t) x
n=0
n!

An(t) = ∂ Ψ
n
∂x x=0

Entonces:
n

2
t2 -(t-x)

An(t) = ∂ [e ne
∂x

2

2
n -(t-x)

] = et ∂ e
∂x n
x=0

x=0

Como:

∂ = ∂
(-1)
∂(t-x)
∂x
Usando esa relación...