Hidrostatica

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Mecánica de Fluidos

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Tema 2

H I D R O S TAT I C A
Estática de fluidos

Presión
La presión se define como una fuerza por unidad de superficie. Por ejemplo un sólido apoyado sobre una superficie ejerce una presión igual al peso sobre el área d ela superficie de contacto.

W

Area A

P=

W A

P

Ecuación fundamental de la hidrostática
Esta es una expresión que permitedeterminar el campo de presiones dentro de un fluido. Consideremos un elemento diferencial (dm) de masa del fluido de lados dx, dy, dz. Como todo fluido, este elemento puede estar sometido a fuerzas superficiales y fuerzas volumétricas: • La única fuerza volumétrica que por lo general interesa en los problemas de ingeniería es la debida a la gravedad o peso propio: z

dz PL PR y



dx Al estarel fluido en reposo la única fuerza superficial a la que está sometido es la debida a la presión, ya que no x dy soporta fuerzas cortantes. Luego ésta se puede expresar haciendo un desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto “O” (centro del elemento) para cada una de las caras del elemento. Así, si P es la presión en el centro del elemento y se desprecian los términos de orden superior, parala cara izquierda:

r r r r dFB = gdm = gρdV = ρg dx dy dz

PL = P +
PR = P +

∂P (YL − y ) = P + ∂P ⎛ − dy ⎞ = P − ∂P dy ⎜ ⎟ ∂y ⎝ 2 ⎠ ∂y 2 ∂y
∂P (YR − y ) = P + ∂P dy ∂y 2 ∂y

Y se pueden obtener expresiones similares para las demás caras del elemento, así para la cara derecha:

Cada fuerza de presión es entonces el producto de tres factores: • La magnitud de la presión (ecuaciónanterior) • El área de la cara donde actúa la fuerza (para las caras izquierda y derecha será dxdz) • El vector unitario correspondiente (para las caras izquierda j y derecha –j) La ecuación para las fuerzas superficiales queda entonces como:

Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA

Mecánica de Fluidos

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r ⎛ ∂P dx ⎞ ∂P dx ⎞ ⎛ dFS = ⎜ P − ⎟(dydz )(i ) + ⎜ P + ⎟(dydz)(− i ) ∂x 2 ⎠ ∂x 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ ∂P dy ⎞ ∂P dy ⎞ ⎟(dxdz )( j ) + ⎜ P + ⎟(dxdz )(− j ) +⎜P − ⎜ ⎜ ∂y 2 ⎟ ∂y 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂P dz ⎞ ∂P dz ⎞ ⎛ ⎛ +⎜P − ⎟(dxdy )(k ) + ⎜ P + ⎟(dxdy )(− k ) ∂z 2 ⎠ ∂z 2 ⎠ ⎝ ⎝
Agrupando y cancelando términos obtenemos:

r ⎛ ∂P ∂P ∂P ⎞ dFS = −⎜ i + j+ k ⎟ dx dy dz = −∇P dx dy dz ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ ∂ ∂⎞ Donde ∇P = ⎜ i ⎜ ∂x + j ∂y + k ∂z ⎟ P se denomina gradiente de presión.⎟ ⎝ ⎠
La fuerza total en el elemento será entonces:

r r r r dF = dFB + dFS = (ρg − ∇P ) dx dy dz

Que podemos expresar por unidad de volumen como:

r r r dF dF = = (ρg − ∇P ) dV dx dy dz

r dF r ⇔ = aρ dV r r dF Como el fluido está estático a = 0 , por lo tanto =0 dV Igualando las dos ecuaciones obtenemos: r ρg − ∇ P = 0 r r dF = aρdV
Como se trata de una ecuación vectorial, esta sepuede expresar en termino de sus componentes:

Por otro lado si aplicamos la ley de Newton tendremos:

ρg x −

∂P = 0 en dirección x ∂x ∂P = 0 en dirección y ρg y − ∂y ∂P ρg z − = 0 en dirección z ∂z

Si se escoge un sistema de coordenadas tal que la dirección de la gravedad coincida con uno de los ejes (z por ejemplo) entonces tendremos que:

∂P =0 ∂x ∂P =0 ∂y ∂P = − ρg ∂z

Obtenemosasí la ecuación fundamental de la hidrostática:

dP = − ρgdz

Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA

Mecánica de Fluidos

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Esta ecuación es válida bajo las condiciones siguientes: 1. Fluido en reposo 2. La única fuerza volumétrica es la gravedad 3. Eje z vertical hacia arriba Si consideramos que el fluido es incompresible, lo cual se puede suponer para muchoscasos prácticos, entonces se puede integrar esta expresión entre el nivel de referencia z0 al cual corresponde una P0 y un nivel z al cual corresponde una presión P:

Si

P − P0 = − ρg (z − z 0 ) Y si llamamos h = ( z − z 0 ) , siendo h positiva de arriba hacia abajo tendremos: P = P0 + ρgh P0

ρ



P

P0

dP = − ∫ ρgdz
z0

z

y g son constantes:

h

P

Propiedades de la...
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