Hip Rbola

V.-HIPÉRBOLA
Es una curva plana abierta con dos ramas; tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en su punto medio “O” centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2ª; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. La distancia focal se representa por 2c. Es simétrica respecto a los dos ejes y por lo tanto,respecto al centro “O”.
La circunferencia principal de ña hipérbola es la que tiene por centro “O” y radio 2ª. Las asístonas de la curva son las tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estas asístonas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.






Hipérbola Horizontal
elementos
=1
A=distancia
B=eje menor
C=distancia del centro al foco


Se cumple:
Centro: (h, k)
Vértices: V= h ± a , k)
Focos: F= h ± c , k)
Asíntotas: A: y – k = ± (x – h)
Lado recto: L = , e =



Hipérbola vertical
elementos
=1
A=distancia
B=eje menor
C=distancia del centro al foco


Se cumple:
Centro: (h , k)
Vértices: V= h , k ± a )
Focos: F= h , k ± c)
Asíntotas: A: y – k = ± (x – h)
Lado recto: L = , e =













Demostración de la hipérbola c ( 0, 0)
-= 2a
= 2a + -(x + c + = (2a + (2a) ( + (x+c +
(x + c - 4 - (x + c= 4
+ 2xc + c2 - - + 2xc + = 4a
4xc - = 4a
Xc - =
- 2cx + + = x-c +
- - = -
- = -
= +
= +











Para construir una hipérbola con regla y compas, suponeos conocidos los focos F, F’, la cantidad constante 2a y el procedimiento es el que sigue:
a) Se obtiene el punto medio de F, F’ que es el centro “C” de la hipérbola.
b)Por el centro “C” se traza la perpendicular a F, F’ (que es el eje conjugado).
c) A partir del centro “C”, se señalan los vértices A, A’ que están a distancia “a” de “C” ósea que “CA’ ” = “CA =a”.
d) Se construye el rectángulo de los ejes transversos y conjugado y se trazan las diagonales que son las asíntotas de la hipérbola.
e) Se marcan puntos cuales quiera ala derecha de F y a la Izquierdade F’, por ejemplo los simétricos , , , , , ,
f) Concentro en los focos y radios A’, A, se obtienen las interacciones 1 que son puntos de la hipérbola ya que 1F’ – 1F = AA’ = 2a repitiendo esto con los radios A’, A’, A’, A’,, se obtienen las intersecciones 2, 3, 4, 5, que uniéndolos con trazo continuo se obtiene la curva.

FORMA ORDINARIA (CANÓNICA) Y GENERAL DE LA ECUACION DE UNA HIPÉRBOLACON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS.
La ecuación general cuando el eje focal es oblicuo a los ejes coordenados es:
A + Bxy + C + Dx + Ey + F = 0, con – 4AC > 0.
La ecuación general cuando el eje focal es paralelo o algún eje coordenado es:
A + C+ Dx + Ey + F = 0, con A 0 & C 0.
En el caso de las hipérbolas A & C tienen diferentes signo.
Ejemplo: Obtén loselementos de la gráfica de la siguiente ecuación:



La ecuación dada es de la forma ( Hipérbola horizontal). Para que el bosquejo de la hipérbola se haga rápidamente, se recomienda construir primero el rectángulo principal, enseguida, trazar las asíntotas (las diagonales), luego los elementos del primer cuadrante para después, aprovechando la simetría de la hipérbola completar su bosquejo. De laecuación dada: como , por lo tanto sus elementos son: C(0,0), A(4,0), B(0,3), F(5,0); por simetría: A’(-4,0); B’(0,-3); F’(-5,0);
ECUACION: ASINTONAS
Y=
ECUACION DEL EJE FOCAL (TRANSVERSO): Excentricidad: E=
Y= 0 (eje x).
ECUACION DEL EJE CONJUGADO:
X=0 (eje y).

Ejemplo
la ecuacion dada es de la forma:

Como = , a = b ósea a = b = 5
Se trata de unahipérbola equilatera


Y los elementos son:
Ecuacion asintotas:
Ecuacion del eje focal (transverso): Y = 0 (EJE X)
Ecuacion del eje conjugado: x= 0 ( eje y).
Excentricidad: e= .


ELEMENTOS DE UNA HIPERBOLA, CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN, A PARTIR DE SU ECUACION.
Dada la ecuación de una hipérbola, en la formula general, con centro fuera del origen, se complementarán trinomios cuadrados...