Hiperbola

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Hipérbola

Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústicahiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola.
La definición de la hipérbola como lugargeométrico es similar a la dada para la elipse, como vemos en seguida

Definición
Una hipérbola es el conjunto de puntos para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintosprefijados (llamados focos) es constante.

La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su puntomedio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.


Figura 1.

Teorema (ecuación canónica de lahipérbola)
La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es


con eje transversal horizontal. Y


con eje transversal vertical.

Los vértices están a una distancia de a unidadesdel centro y los focos a una distancia de unidades del centro. Además

Figura 2.

Resumiendo:
Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces
El centro está en
Losvértices están en
Los focos están en .
Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces
El centro está en
Los vértices están en .
Los focos están en .
Una ayudaimportante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b ycentro en .El segmento recto de longitud 2b que une se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.

Teorema (Asíntotas de una...
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