Hipersector de la construccion

Cap´
ıtulo

3

Ecuaciones del movimiento

´
3.1 PRINCIPIOS USADOS EN LA FORMULACION DE
LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
Las expresiones matem´ticas que gobiernan la respuesta din´mica
a
a
de las estructuras se conocen con el nombre de ecuaciones del movimiento. Dichas ecuaciones pueden obtenerse a partir de cualquiera
de los siguientes principios de la mec´nica cl´sica (Clough yPenzien
a
a
1993):
— principio de d’Alembert
— principio de los trabajos virtuales
— principio de Hamilton
A continuaci´n se indican algunos conceptos b´sicos cuya aplicaci´n
o
a
o
permite obtener las ecuaciones del movimiento a partir de dichos
principios.
3.1.1 Principio de d’Alembert
Proporciona el m´todo m´s directo para escribir las ecuaciones del
e
a
movimiento (Biggs 1964, Cloughy Penzien 1993). Puede formularse
como sigue: un sistema din´mico est´ en equilibrio cuando todas las
a
a
fuerzas que act´an en el mismo, inclu´
u
ıdas las de inercia, cumplen
las ecuaciones de equilibrio est´tico en cada instante de tiempo. Las
a
fuerzas de inercia las proporciona la segunda ley de Newton
¨
Fi j (t) = −mj dj (t)

(j = 1, 2, . . . , n)

¨
en donde dj (t) es laaceleraci´n de la masa mj del sistema.
o

(3.1)

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ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

3.1.2 Principio de los trabajos virtuales
El principio de los trabajos virtuales establece que un sistema se
encuentra en equilibrio bajo la acci´n de unas fuerzas externas que
o
act´an sobre ´l, inclu´
u
e
ıdas las de inercia, si para cualquier campo
de desplazamientos virtuales† que se imponga alsistema, el trabajo
(debido a estos desplazamientos) realizado por las fuerzas externas
es igual al realizado por las fuerzas internas. Las ecuaciones del
movimiento se obtienen expresando, para cada grado de libertad,
el trabajo que debido a dichos desplazamientos realizan las fuerzas
(Lanczos 1949).
3.1.3 Principio de Hamilton
A la expresi´n
o
ΠH =

t2
t1

(Ep − Ec ) dt +

t2
t1Ed dt

(3.2)

se le denomina funcional de Hamilton. Ep y Ec son, respectivamente, la energ´ potencial y cin´tica, mientras que Ed es el trabajo
ıa
e
correspondiente a las fuerzas de amortiguamiento y a otras fuerzas
externas no conservativas.
El principio variacional de Hamilton establece que un sistema est´
a
en equilibrio din´mico si se cumple la siguiente condici´n:
a
o
δΠH = 0(3.3)

en donde δ representa la variaci´n del funcional en el intervalo de
o
tiempo (t1 , t2 ).
3.2 MODELOS CON UN SOLO GRADO DE LIBERTAD
La ecuaci´n del movimiento correspondiente al modelo s´
o
ısmico de
la figura 3.1a puede deducirse mediante el principio de d’Alembert.
Consid´rese que se separa la masa de sus v´
e
ınculos con el apoyo y se
sustituyen dichos v´
ınculos por lasfuerzas correspondientes, tal como
puede verse en la figura 3.1b. De esta forma, la ecuaci´n de equilibrio
o
se escribe como
Fi (t) − Fe (t) − Fa (t) = 0

(3.4)

† Un desplazamiento virtual se define como un desplazamiento infinitesimal arbitrario
que satisface las condiciones de contorno (Biggs 1964).

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MODELOS CON UN SOLO GRADO DE LIBERTAD

Figura 3.1 Modelo s´
ısmico con unsolo grado de libertad. a) modelo
s´
ısmico; b) equilibrio de fuerzas.

donde Fi (t), Fe (t) y Fa (t) son las fuerzas de inercia, el´sticas y de
a
amortiguamiento, respectivamente.
La fuerza el´stica es proporcional al desplazamiento de la masa m
a
y a la rigidez k del modelo
Fe (t) = kx(t)

(3.5)

La fuerza de inercia que act´a sobre la masa m est´ originada por la
u
a
aceleraci´ntotal de la masa
o
Fi (t) = −m [¨(t) + a(t)]
x

(3.6)

donde a(t) es la aceleraci´n s´
o ısmica que act´a en la base de la estrucu
tura (ver figura 3.1). Para la fuerza de amortiguamiento se admite
la hip´tesis de Voigt, seg´n la cual el amortiguamiento es “viscoso”,
o
u
es decir, proporcional a la velocidad
Fa (t) = cx(t)
˙

(3.7)

Con estas definiciones la ecuaci´n de...