Historia Algebra Moderna

APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

VOL. 1, NO. 3, SEPTIEMBRE 2002

EL DESARROLLO DEL ÁLGEBRA MODERNA
Parte I: El álgebra en la antigüedad.
Guillermo Dávila Rascón
… en matemáticas, los grandes progresos han
estado siempre ligados a progresos en la
capacidad de elevarse un poco más en el campo
de la abstracción.
Jean Dieudonné1

1. INTRODUCCIÓN
El álgebra moderna, o álgebra abstracta comotambién se le conoce, tiene un papel tan
importante dentro de las matemáticas contemporáneas que hay quienes lo comparan con la
función que la matemática, en general, desempeña en las ciencias, en las que ha probado
ser de gran utilidad. Nos referimos a sus aplicaciones a la física, a la química, a la biología,
a la economía, etcétera, para las cuales, la matemática es parte fundamental de susdesarrollos modernos, en algunos de los cuales, las nuevas teorías algebraicas han tenido un
papel protagónico (ver [1, pp. 57-58, 261-262]).
En este escrito abordaremos algunos de los más importantes episodios que han dado forma
al álgebra, tal como la conocemos actualmente, y veremos que está muy alejada de la
antigua idea según la cual "El algebra es, propiamente hablando, el análisis de
ecuaciones"como lo expresa J. A. Serret en su libro Cours d'Algèbre Supérieure publicado
en 1885. Ciertamente ese análisis de las ecuaciones ha sido una parte muy importante en el
desarrollo de esta ciencia, pero tendremos oportunidad de ver que el álgebra es mucho más
que eso. De hecho, en las primeras décadas del siglo XIX se dió un movimiento lidereado
por varios matemáticos ingleses que tenía comopropósito dotar al álgebra de un marco
axiomático, similar al de la geometría euclidiana. Esto propició el surgimiento de una
multitud de nuevas estructuras y teorías algebraicas que revolucionaron las viejas
concepciones y marcaron el camino a seguir para los desarrollos futuros del álgebra
moderna.
Por otro lado, debemos advertir que ésta no es una historia exhaustiva de todo ese
movimiento creadorpues el espacio nos impone limitaciones, sin embargo, pondremos
énfasis en ciertos aspectos que nos ayudarán a comprender la relevancia del álgebra en las
matemáticas modernas. Además, hemos dividido el documento en tres partes: En la primera
de éstas tocamos algunos aspectos de las matemáticas egipcia, babilónica y griega, a los
que podríamos calificar como de tipo algebraico, aunque cada uno deellos de índole muy
distinta, como se verá en las siguientes secciones. Esta primera parte abarca un período que
empieza aproximadamente en 1600 a. C. y termina alrededor del año 600 d. C.; en esta
etapa podemos hablar de una pre-álgebra pues aún no se toma conciencia del álgebra como
1

Ver [7], p. 43.

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una áreaindependiente de la aritmética y de la geometría (en el caso de Egipto y Babilonia,
podemos hablar de una álgebra aritmética y en el caso de Grecia de una álgebra
geométrica). En ambas situaciones, encontramos problemas muy específicos que
podríamos llamar algebraicos y para los cuales tenían métodos de solución que son
equivalentes a resolver ciertos tipos de ecuaciones algebraicas y que abordaremos másadelante.
Un desarrollo mucho más consciente y profundo en lo que se refiere al estudio de
ecuaciones algebraicas es llevado a cabo por los matemáticos árabes, quienes preservan,
aprehenden y cultivan las ciencias que provienen de fuentes babilónicas, hindúes y griegas.
Si bien la matemática árabe tiene su período de máximo esplendor entre los siglos IX y XI,
su influencia se percibe en Europa hastamuy entrado el Renacimiento, por lo que los
matemáticos europeos continúan el estudio de las ecuaciones hasta las primeras décadas del
siglo XIX. Así, esta etapa la podemos identificar con la idea expuesta por Serret: El álgebra
ligada a la resolución de ecuaciones, y nos ocuparemos de estos aspectos en la segunda
parte del documento.
Finalmente, en la tercera parte hablaremos sobre los...