Historia de la geometria

Historia De La GeometríA Euclidiana

1. Historia de la Geometría Euclidiana
2. La Geometría Euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.
3. Desde un punto de vista historiográfico,la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro "Los elementos", dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente –desde Arquímedes hasta Steiner.
4. Axiomas o Postulados La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto número de postuladosque se presumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:
5. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. Se puede trazar una circunferencia con centroen cualquier punto y de cualquier radio. Todos los ángulos rectos son iguales.
6. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como: Por un puntoexterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.
7. Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y unpunto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada).
8. Omisiones de Euclides Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más: Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma desus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción) Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulo comprendido también iguales, son congruentes (afirmación equivalente al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente)




Hacia el 300 a.C. Euclides escribió Los Elementos, un libro que se convertiría en uno de losmás famosos jamás escritos.
Euclides hizo cinco postulados sobre los cuales basó todos sus teoremas.
1. Se puede trazar una línea recta desde un punto hasta otro cualquiera.
2. Se puede prolongar una línea recta finita continuamente.
3. Se puede describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una línea recta cruzaotras dos líneas rectas forma ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, entonces, si se continúan esas dos rectas indefinidamente, se cortan del lado en el que hay ángulos menores que los dos ángulos rectos.


Es claro que el quinto postulado es diferente de los otros cuatro. No satisfacía a Euclides, quien trató de evitar su uso tanto como pudo - de hecho, las primeras 28proposiciones de Los elementos se demuestran sin emplearlo. Otro comentario que vale la pena hacer en este punto es que Euclides, y muchos otros que le siguieron, supuso que las líneas rectas eran infinitas.

Proclo (410-485) escribió un comentario sobre Los elementos en el cual comenta sobre intentos de deducir el quinto postulado de los otros cuatro; hace notar en particular que Tolomeo...