Historia de los conjuntos numericos

HISTORIA DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos con los que has trabajado tanto en Enseñanza Básica como en Enseñanza Media, se van ampliando a medida que se necesita resolver ciertas problemáticas de la vida diaria.

Números naturales (IN)

Los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban y aún seutilizan para contar elementos de un conjunto. Los números naturales sirven para contar y ordenar fundamentalmente.

El nombre “Números Naturales” seguramente surge debido a que estos números son los que aparecen por primera vez en el proceso natural de contar o enumerar los objetos de un conjunto. 

Los números naturales son un conjunto de números de la forma: 1, 2, 3,…. que denotaremos con elsímbolo IN, esto es:
IN = {1, 2, 3, 4, 5 ...}

Si al conjunto de los números naturales se le une el número cero, este nuevo conjunto se denota con el símbolo IN0, esto es,
IN0 = {0, 1, 2, 3 ...}.
Es posible establecer una correspondencia entre los números naturales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera. 

Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta pararepresentar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1), a este segmento le llamamos segmento unidad. Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento unidad, para así representar los números 1, 2, 3, 4,... (en este orden) que se encontrarán a la derecha del cero.

En una recta numérica el punto que representa el cero recibeel nombre de origen.








Una representación gráfica de IN0 en la recta numérica se muestra en la figura 1:

Figura 1. IN0 en la recta numérica.
De IN y IN0 se pueden formar variados subconjuntos, entre ellos se encuentran: 

• El Conjunto de los números pares es un subconjunto de IN0  donde:
{x Є IN0 / x=2n, n Є IN0 } = {0, 2, 4, 6, 8, 10,....}.

• El Conjunto de los númerosimpares es un subconjunto de IN0 donde:
{x Є IN0 / x=2n + 1, n Є IN0 } ={1, 3, 5, 7, 9, 11,....}.
 
Observa que estos dos conjuntos no tienen elementos en común y que si se unen ambos, forman el conjunto IN0

• El conjunto de los Múltiplos de un número es un subconjunto de IN donde:
Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cadauno de los naturales. Los múltiplos de un número n pertenecen al conjunto formado por:
 {1·n, 2·n, 3·n, 4·n,...}.


• El conjunto de los Divisores de un número es un subconjunto de IN donde:
Llamamos divisores de un número, a todo el conjunto de números que lo divide exactamente. 

• El Conjunto de los Números Primos es un subconjunto de IN donde:
El número natural p>1 es un número primo sisus únicos divisores son 1 y p.

Algunos números primos son:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...}.
1.2. Números enteros (Z)

Si se requiere dar solución a la sustracción 4 – 9, es necesario encontrar un número que sumado a 9 de cómo resultado 4. Este número no existe en IN0.

Para que la sustracción tenga siempre solución, se extiende la recta numérica hacia la izquierda, de modo que acada punto que representa un número natural le corresponde un punto simétrico a él, ubicado a la izquierda del cero. 



Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numérica, respecto al cero, representa un número negativo. 

Entonces, el conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los números negativos. Este conjuntose denota por  Z, donde:
Z={..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Una representación gráfica de   en la recta numérica se muestra en la figura 2:
__|____|____|____|___|____|____|____|____|____|____|__
...-5     -4     -3     -2    -1      0       1      2      3       4      5...
Figura 2. Z en la recta numérica.
Cada número negativo es considerado el opuesto o inverso aditivo...