historia economica

MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS

Grado en Economía y ADE


1

2011-2012

Ejercicio Nº 1
Se diseña y se construye una ciudad con objeto de instalar en ella la
capital de una nación. En primerainstancia acuden a ella funcionarios
y personal de servicios oficiales, pero se desea que la población de la
ciudad crezca, limitadamente, de forma espontánea por inmigración
desde otras localidadesdel país. En este sentido, se toman las medidas
necesarias para producir un incremente de población, de forma que en
el momento “t” sea:
P(t)=

.

a) Justificar que, efectivamente, es unafunción creciente.

Para que una función sea creciente se tiene que cumplir que
en todo par de valores x1, x2 є a su dominio:
Y= f(x)

<

∀


,

≤

∈Sea f(x) una función de una variable, derivable en un
intervalo (abierto) D. Se cumple que:
Si f '(x) > 0 para todo x ∈ D, entonces f es estrictamente
creciente en D.

P(t)'=

# $% &&'(.)* #$.+
&& (.)* ,

≥ 0
2

Esta función siempre va ser positiva porque el denominador
elevado al cuadrado siempre es positivo y el numerador
también lo es Positivo/positivo = positivo.
ComoP(t)' (la primera derivada) es siempre > 0 para todo
t ∊ D, la función es estrictamente creciente.

b) Averiguar la población inicial. Calcular las asíntotas.
¿Es una función acotada? ¿Cuál es lamáxima población
admisible?

Para hallar la población inicial nos situamos en el momento
t=0
Hallamos P (0):
P (0) =106 / 1+99e-0.4*0 e-0.4*0 = 1
P (0) = 106 / 100 = 10.000 habitantesAsíntotas:
-La recta x = x0 es una asíntota vertical de la función f(x)
cuando lim2→2$
= ±∞, si los valores de f(x) en valor
absoluto se hacen tan grandes como se quiera cuando x está
suficientementepróximo a x0.
Así que calculamos el
106
lim6→6(
1+99 −0.4

= 104

3

El denominador nunca podría ser 0, así que esta función no
tiene asíntota vertical porque no hay ningún valor de t...