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Capítulo 1

Límites de Funciones
Considere la función de…nida por f (x) = x2 x + 3; entonces, si investigamos el comportamiento
de f para valores de x cercanos a 2; tanto para valores menores que 2 (por la “izquierda” de 2)
como para valores mayores que 2 (por la “derecha” de 2) obtenemos:
x
1:0
1:5
1:8
1:9
1:95
1:99
1:995
1:999

f (x)
3
3: 75
4: 44
4: 71
4: 852 5
4: 970 14: 985
4: 997

x
3:0
2:5
2:2
2:1
2:05
2:01
2:005
2:001

f (x)
9:0
6: 75
5: 64
5: 31
5: 152 5
5: 030 1
5: 015
5: 003

es decir, los valores de f (x) se aproximan a 5. Decimos entonces que “el límite cuando x tiende a
2 de f (x) es 5” y escribimos:
,
lim f (x) = 5:
x!2

En general, usaremos la siguiente de…nición.
De…nición Se escribe lim f (x) = L y decimos que ellímite cuando x tiende a \a" de f es igual
x!a
a L; si podemos hacer que los valores de f se aproximen tanto como se quiera a L haciendo x
arbitrariamente cercano a a:
De…nición Escribimos
lim f (x) = L

x!a

y decimos que el límite por la izquierda de f cuando x tiende a a es igual a L; si los valores de
f (x) se aproximan arbitrariamente a L tomando a x su…cientemente cercano a a; con x Análogamente,
lim+ f (x) = L
x!a

signi…ca que f (x) ! L cuando x ! a; con x > a:

1

Marco Alfaro C.

2

Teorema (Existencia del límite) El lim f (x) = L existe si y sólamente si
x!a

lim f (x) = lim+ f (x) = L:

x!a

(1.1)

x!a

Ejemplo En el siguiente ejercicio, dar el valor del límite, si este existe, en caso contrario, explicar
por qué no existe.
y
4

3

21

-4

-3

-2

-1

2

1

0

3

x

4

-1

-2

-3

a) lim f (x)

b) lim f (x)

c) lim+ f (x)

d) lim f (x)

e) lim f (x)

f) lim f (x)

x! 2

x! 4

x!1

lim f (x) = 1:

b) Aquí

lim f (x) = 2 =

x! 4

x!2

x!2

Solución:
a) Tenemos, de acuerdo al último teorema, que
x! 2

x!2

lim f (x) = 1 =

x! 2

lim f (x), por lo que lim f (x)= 2: Note que f ( 4) no existe.
x! 4

x! 4+

c) En este caso lim+ f (x) = 3:
x!2

d) De nuevo, analizando los límites laterales se llega a lim f (x) =
lim f (x) =

x!1

lim f (x) ; así que

x! 2+

x!1

1:

1 = lim+ f (x) ; así que
x!1

e) Finalmente, lim f (x) = 1 mientras que lim f (x) = 3; de donde concluimos que el lim f (x)
no existe.

x!2

x!2+

x!2

MarcoAlfaro C.

3

Ejemplo Sea
f (x) =
Hallar

(i) lim f (x)
x!1+

x2
jx

1
:
1j

(ii) lim f (x) .
x!1

Solución: De la de…nición de la función valor absoluto, tenemos que
8
x 1;
si x 1
<
jx 1j =
:
(x 1) ;
si x < 1:
Por lo tanto,

lim f (x)

= lim+

x!1+

x!1

(x + 1) (x
x1

1)

= 2:
Por su parte
lim f (x)

= lim

x!1

x!1

=

(x + 1) (x 1)
(x 1)2:

Concluimos entonces que lim f (x) no existe.
x!1

Ejemplo Sea
f (x) =
Hallar

(i) lim f (x)
x!1

82
1; entonces
lim f (x)

x!1+

= lim+ (3
x!1

x)

= 2:
Nuevamente, como los límites laterales no coinciden, se tiene que lim f (x) no existe.
x!1

Marco Alfaro C.

4

Cálculo de Límites

1.1

Leyes de los límites

1.1.1

Si lim f (x) = L y lim f (x) = M, se cumple:
x!a

x!a

1. lim [f (x)

g (x)] = L

x!a

M:

2. lim [c f (x)] = c L: (c 2 R) :
x!a

3. lim [f (x) g (x)] = L M :
x!a

L
f (x)
; si lim g (x) 6= 0:
=
x!a
g (x)
M

4. lim

x!a

n

5. lim [f (x)] = Ln (n 2 N) :
x!a

6. lim c = c; lim x = a; lim xn = an :
x!a

x!a

x!a

7. lim

p
n

8. lim

q
p
n
f (x) = n lim f (x), n 2 N: Si n es parse supone lim f (x) > 0:

x!a
x!a

x=

p
n

a, n 2 N. Si n es par se supone a > 0.
x!a

x!a

9. Si f (x) es un polinomio o una función racional con a 2 Df , entonces
lim f (x) = f (a) :

x!a

Aunque no existe ninguna regla general para el cálculo de límites, podemos revisar algunos ejemplos
que nos ayuden a identi…car los casos de aparición más frecuente. Para ello...

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