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El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definidapositiva.

Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

donde es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido . La función (que toma como argumentos dos elementos de, y devuelve un elemento del cuerpo ) debe satisfacer las siguientes condiciones:
1.Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha:
2.Hermiticidad: ,
3.Definida positiva: ,y si y sólo si x = 0,

donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de sersesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por:

Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar sedenomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es unespacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que estádefinido, de la siguiente manera:




En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.

[editar] Definición geométrica del productoescalar en un espacio euclídeo real





A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como elproducto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.




En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es

Esta definición de carácter geométrico es independiente...