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SUBTEMA 6.3.4.- Series de Taylor y Serie de McLaurin.

SERIES DE MCLAURIN Y TAYLOR:

Sea la fórmula de McLaurin

siendo con 0 < z < x.
Es decir .
Llamaremos serie de MacLaurinasociada a una función f(x) a la expresión


Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de McLaurin y para ello deberá cumplirse que:1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y

2).

Ejemplo: Sea f(x) = ex

Veremos si.
que .


Ejercicio:
Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias.f(x) = senx ; f(0)=0
f'(x) = cosx ; f '(0)=1
f"(x)= -senx; f"(0)=0
f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1
fIV(x)= senx ; fIV(0)=0
fV(x)= cosx ; fV(0) =1 y generalizando

pero en todo casosiempre son en valor absoluto menores que 1, y finalmente
con lo que y finalmente


Estudiemos el intervalo de convergencia
y por lo tanto I = R



SERIE DE TAYLOR

De lo que seobtiene:

Si a = 0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.
Serie de Taylor
En matemáticas, la serie de Taylor de formula función f infinitamente derivable (real o compleja) definida en unintervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:

sin(x) y aproximaciones de Taylor, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésimaderivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si laserie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esaserie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La...