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Cap´
ıtulo 7
Elementos de trigonometr´
ıa

7.1.

Identidades trigonom´tricas
e

Una identidad trigonom´trica es una igualdad que contiene funciones trigonom´tricas y que
e
e
es v´lida para todos los valores de los argumentos para los cuales est´n definidas dichas
a
a
funciones.
Son identidades trigonom´tricas:
e

tan x =

No son identidades trigonom´tricas:
e

sin x
,cos x

sin x = 1,

sin2 x + cos2 x = 1.
sin x = cos x.

A continuaci´n, para uso y referencias futuras, se entrega un listado de las principales ideno
tidades trigonom´tricas:
e
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Cap´
ıtulo 7: Elementos de trigonometr´
ıa

7.1.1.

Resumen de contenidos

F´rmulas para funciones trigonom´ricas para α ± β.
o
e

1. cos(α ± β) = cos α cos β

sin α sin β.

2. sin(α ± β) =sin α cos β ± cos α sin β.
3. tan(α ± β) =

tan α ± tan β
.
1 tan α tan β

4. sin 2α = 2 sin α cos α.
5. cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1.
6. tan 2α =

7.1.2.

2 tan α
.
1 − tan2 α

F´rmulas para α/2.
o

1. sin

α
=±
2

1 − cos α
.
2

2. cos

α
=±
2

1 + cos α
.
2

3. tan

α
1 − cos α
sin α
=
=
.
2
sin α
1 + cos α

En 1 y 2,el signo depende del cuadrante donde est´ ubicado P
a

7.1.3.

α
2

.

Productos de sin y cos .

1
1. sin α · cos β = 2 [sin(α + β) + sin(α − β)].
1
2. cos α · sin β = 2 [sin(α + β) − sin(α − β)].

3. cos α · cos β = 1 [cos(α + β) + cos(α − β)].
2
1
4. sin α · sin β = 2 [cos(α + β) − cos(α − β)].

7.1.4.

Suma y Diferencia de sin y cos .

1. sin α + sin β = 2 sin

α+βα−β
· cos
.
2
2

2. sin α − sin β = 2 cos

α+β
α−β
· sin
.
2
2

Instituto de Matem´tica y F´sica
a
ı

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Universidad de Talca

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ı

3. cos α + cos β = 2 cos

α+β
α−β
· cos
.
2
2

4. cos α − cos β = −2 sin

7.2.
7.2.1.

Resumen de contenidos

α+β
α−β
· sin
.
2
2

Ecuaciones trigonom´tricas
e
Definici´n
oSon aquellas en las cuales la inc´gnita solamente aparece como argumento en funciones
o
trigonom´tricas.
e
Ejemplos de ecuaciones trigonom´tricas son:
e
sin x = 1,

sin(2x) = 2 sin x,

cos2 x − 3 sin x = 3.

No son ecuaciones trigonom´tricas:
e
x sin x = 1,

7.2.2.

x + cos x = 3.

Resoluci´n de una ecuaci´n trigonom´trica
o
o
e

Resolver una ecuaci´n trigonom´tricaconsiste en encontrar los valores del argumento deso
e
conocido que satisfacen a la ecuaci´n dada.
o
Nota: Se llaman soluciones principales de una ecuaci´n trigonom´trica a aquellas soluciones
o
e
◦
◦
que se encuentran entre 0 y 2π (o entre 0 y 360 ).
No existe un m´todo general para resolver ecuaciones trigonom´tricas, pero las siguientes
e
e
sugerencias pueden ser de ayuda:
Expresartodas las funciones trigonom´tricas que aparezcan en funci´n de un mismo
e
o
argumento, usando las identidades trigonom´tricas. Por ejemplo, si los argumentos 2x
e
y x aparecen en la ecuaci´n, expresar las funciones de 2x en t´rminos de las funciones
o
e
de x.
Expresar todas las funciones en t´rminos de una sola funci´n trigonom´trica.
e
o
e
Resolver algebraicamente (factorizando o decualquier otra forma) considerando como
inc´gnita la unica funci´n que ha quedado en la ecuaci´n.
o
´
o
o

Instituto de Matem´tica y F´sica
a
ı

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Universidad de Talca

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ıa

7.3.

Ejemplos

Ejemplos

1. Verificar la siguiente identidad: sec a − cos a = sin a tan a
Soluci´n:
o
sec a − cos a =
=
=
=
=

1
− cos a
cos a
1 −cos2 a
cos a
sin2 a
cos a
sin a
sin a ·
cos a
sin a tan a

2. Comprobar la identidad trigonom´trica: cot x − 2 cot 2x = tan x
e
Soluci´n:
o
1
2
−
tan x tan 2x
1
2
=
−
2 tan x
tan x
1 − tan2 x
1
2(1 − tan2 x)
=
−
tan x
2 tan x
1 − tan2 x
1
−
=
tan x
tan x
tan2 x
1 − 1 + tan2 x
=
=
tan x
tan x
= tan x

cot x − 2 cot 2x =

3. Verificar la siguiente...