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Control de Matem´ ticas I a
Programa de Bachillerato. Universidad de Chile. Junio, 2008

Tiempo: 15 minutos.

Nombre: Elija un problema entre los siguientes.
´1. Considera la funcion f : R → R definida por f (x) = 3x2 + x + 1. Encuentra un intervalo abierto U tal que si x ∈ U entonces 4, 99 < f (x) < 5, 01.

´ Una Solucion:Como
x→1

l´m f (x) = 5 ı

y como f (1) = 5, existe un vecindario de 1, digamos U, tal que si x ∈ U entonces f (x) ∈ (4, 99; 5, 01) = V. Sea δ = 10−3 y consideremosx ∈ U = (1 − δ, 1 + δ), entonces 2 puntos Asignar dos puntos si el intervalo efectivamente cumple la ´ condicion pedida.

1−δ < x < 1+δ 1 − 2δ + δ2 < x2 < 1 + 2δ +δ2 3 − 6δ + 3δ < 3x < 3 + 6δ + 3δ
2 2 2

3 − 6δ + 3δ2 + (1 − δ) < 3x2 + x < 3 + 6δ + 3δ2 + (1 + δ) 5 − 7δ + 3δ2 < 3x2 + x + 1 < 5 + 7δ + 3δ2 5 − (7δ + 3δ2 ) < 5 − 7δ +3δ2 < f (x) < 5 + 7δ + 3δ2 1

Es importante notar que si 0 < x < y entonces x2 < y2 .

Pero como 7δ + 3δ2 = 7 × 10−3 + 3 × 10−6 = 0, 007003 < 0, 01 Se tiene que4, 99 < 5 − (7δ + 3δ2 ) < 5 − 7δ + 3δ2 < f (x) < 5 + 7δ + 3δ2 < 5, 01 Por lo tanto si x ∈ U, entonces f (x) ∈ V Asignar 4 puntos si el estudiante comprueba que elintervalo efectivamente cumple la ´ condicion pedida. 4 puntos 2. Calcula el l´mite ı
x→0

ı l´m

1 − cos(x) tg(x)

´ Una Solucion: l´m ı x 1 − cos(x) 1 − cos(x) = l´mı × × cos(x) x→0 tg(x) x sin(x) 2 puntos Como

x→0

sin(x) =1 x→0 x l´m ı 1 1 x = l´m sin(x) = = 1 ı x→0 x→0 sin(x) 1 l´m ı
x

se tiene que:

y como
x→0l´m cos(x) = 1 ı

y 1 − cos(x) =0 x→0 x l´m ı 2 puntos se tiene: 1 − cos(x) x 1 − cos(x) = l´m ı × × cos(x) = 0 x→0 x→0 tg(x) x sin(x) l´m ı 2 puntos

2