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C u r s o : Matemática
Material N° 015
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12
UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA:

RADIO:

Dado un punto O y una distancia r, se llama
circunferencia de centro O
y radio r al
conjunto de todos los puntos del plano que
están a la distancia r del punto O.

0: Centro
r: Radio
C(O,r) = (O,r)

r
O

Trazocuyos extremos son el centro de la

CUERDA:

Trazo cuyos extremos son dos puntos de una

Cuerda

que

contiene

E

diámetro

B

circunferencia ( DE ).
DIÁMETRO:

cuerda

D

circunferencia y un punto de ésta ( OC ).

radio

O

secante

al

centro

de

P

la

C
A
Q

T

circunferencia ( BC ).

arco

M

tangente

suu
r

SECANTE:

Recta queintersecta en dos puntos a la circunferencia ( PQ ).

TANGENTE:

Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto ( TM ). T punto de
tangencia.

ARCO:

Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de

suur

ella ( CE ).
ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro
de la circunferencia y sus lados son radios de la
misma ( DOE).D
O
E
H

ÁNGULO INSCRITO:

Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la
circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas
de ésta ( GHF).

G
F

EJEMPLO

1.

¿Cuál(es) de las siguiente opciones es falsa?
A)
B)
C)
D)
E)

El diámetro de una circunferencia es el doble que la de su radio
La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro
En circunferencias congruenteslos radios son congruentes
Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro
Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

D
α O

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la
medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco.
DE =

E

DOE = α

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en unacircunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que
subtiende el mismo arco.
C
D
β
β
E
1
0
β
0
0
β=
α
α
2
α
α
A

B

A

B

A

B

O :centro de la circunferencia

EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O (fig. 1), AB es diámetro. Entonces, el valor de α es
A)
B)
C)
D)
E)

B

10º
20º
40º
80º
140º

O
α
20

A

2.

En

lacircunferencia

de

centro

O

(figura

AED + BC = 3 AB . Entonces, la medida del

A)
B)
C)
D)
E)

2),

Fig. 1
C

se

cumple

que

BA

≅

x es
C

45º
60º
72º
84º
90º

B
x
A

D
O

Fig. 2
E

2

DC

y

TEOREMA

Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual
medida

β

α=β

α
B
ATEOREMA

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

C
O: centro de la circunferencia

ACB = 90º

A

B

0

EJEMPLOS

1.

En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia de la figura 1, α - β = 120º.

¿cuánto mide el ángulo x?
A)
B)
C)
D)
E)

2.

30º
75º
105º
150º
155º

En

la

circunferencia

Si CA = 3m + 10 y el

A)
B)
C)
D)
E)

Si γ=

α
,
2

A
α
B γ
x

β
C

D

Fig. 1

de centro O de la figura 2, AB
ADC = 3m - 10, entonces

170º
160º
150º
140º
120º

x +

y=

C

A

3

es diámetro y CA ≅ BD .

y

D
x

O

B

Fig. 2

TEOREMA

Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda,
entonces la dimidia y viceversa.

O
OD ^ AB Û AC ≅ CB

C

A
TEOREMA

B

DSi un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda,
entonces dimidia al arco que subtiende la cuerda y viceversa.
OD ^ AB Û

¼
¼
AD ≅ DB

EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, OD ⊥ AB . Si AC = 4 cm, OC =
DC =

A)
B)
C)
D)
E)

2.

1
BC , entonces OD mide
2

2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
10 cm

O

A

Fig. 1

C
D

B

En la...